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Si farà uso delle abilità acquisite sul concetto di equiscomponibilità per verificare i Teroremi di Euclide e il Teorema di Pitagora in modo che gli allievi ne arrivino a capire gli enunciati più chiaramente. Completeremo il discorso sull’equiscomponibilità verificando che, grazie ai teoremi di Euclide, è possibile costruire un quadrato che ha la stessa area di un rettangolo dato. Questa tesi partecipa al concorso
INTRODUZIONE
Quando si considerano solo segmenti o angoli la congruenza, la sovrapponibilità e l'uguaglianza estensiva (o equivalenza) si identificano. Ma per le superfici poligonali?
Euclide, considerando il concetto di area come primitivo, fonda la sua teoria dell'equivalenza dei poligoni su alcuni postulati:
poligoni uguali sono equivalenti
poligoni equivalenti ad uno stesso sono equivalenti fra loro
somme di poligoni equivalenti sono equivalenti
differenze di poligoni equivalenti sono equivalenti
un poligono non è equivalente ad una sua parte Ma perché l'uguaglianza di estensione possa essere oggetto di studio rigoroso, è necessaria un'analisi approfondita, che manca in Euclide e fu compiuta soltanto in tempi recenti.
Diversi furono i matematici che si impegnarono a costruire una teoria della equivalenza di poligoni fino a giungere a dimostrare
Due poligoni equivalenti si dicono equivalenti se sono scomponibili in poligoni rispettivamente congruenti
L'equivalenza gode della proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva E da questi derivano i teoremi che ci permettono di stabilire in quali casi due poligoni hanno la stessa area:
Due parallelogrammi aventi un lato in comune e i lati opposti a questo contenuti in una stessa retta, sono equiscomponibili. Da questo come caso particolare si ha che dato un parellelogramma, è possibile costruire un rettangolo avente la stessa area.
Dato un triangolo, è possibile costruire un parallelogramma con la stessa area che ha per base la metà della sua base ed uguale altezza. Da cui ovviamente segue che dato un triangolo, è possibile costruire un rettangolo avente la stessa area.
Dato un poligono, è possibile costruire un poligono equivalente con un lato in meno.
Dato un poligono convesso, è possibile costruire un rettangolo con la stessa area
Teorema dello gnomone: dato un rettangolo, è possibile costruire un altro rettangolo con la stessa area e avente un lato assegnato.
Dato un qualsiasi poligono, è possibile costruire un rettangolo avente la stessa area e con un lato assegnato.
I ANNO
INDIRIZZO FISICO MATEMATICO
LABORATORIO INFORMATICO - CABRI
Specializzanda
Elena Lucarelli
ANNO ACCADEMICO 2007/2008 1
INTRODUZIONE
Quando si considerano solo segmenti o angoli la congruenza, la sovrapponibilità e
l'uguaglianza estensiva (o equivalenza) si identificano. Ma per le superfici poligonali?
Euclide, considerando il concetto di area come primitivo, fonda la sua teoria
dell'equivalenza dei poligoni su alcuni postulati:
poligoni uguali sono equivalenti
poligoni equivalenti ad uno stesso sono equivalenti fra loro
somme di poligoni equivalenti sono equivalenti
differenze di poligoni equivalenti sono equivalenti
un poligono non è equivalente ad una sua parte
Ma perché l'uguaglianza di estensione possa essere oggetto di studio rigoroso, è
necessaria un'analisi approfondita, che manca in Euclide e fu compiuta soltanto in tempi
recenti.
Diversi furono i matematici che si impegnarono a costruire una teoria della equivalenza di
poligoni fino a giungere a dimostrare
Due poligoni equivalenti si dicono equivalenti se sono scomponibili in poligoni
rispettivamente congruenti
L'equivalenza gode della proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva
E da questi derivano i teoremi che ci permettono di stabilire in quali casi due poligoni
hanno la stessa area:
Due parallelogrammi aventi un lato in comune e i lati opposti a questo contenuti in
una stessa retta, sono equiscomponibili. Da questo come caso particolare si ha che
dato un parellelogramma, è possibile costruire un rettangolo avente la stessa area.
Dato un triangolo, è possibile costruire un parallelogramma con la stessa area che
ha per base la metà della sua base ed uguale altezza. Da cui ovviamente segue
che dato un triangolo, è possibile costruire un rettangolo avente la stessa area.
Dato un poligono, è possibile costruire un poligono equivalente con un lato in meno.
Dato un poligono convesso, è possibile costruire un rettangolo con la stessa area
Teorema dello gnomone: dato un rettangolo, è possibile costruire un altro
rettangolo con la stessa area e avente un lato assegnato.
Dato un qualsiasi poligono, è possibile costruire un rettangolo avente la stessa area
e con un lato assegnato.
A questo punto useremo le abilità fin qui acquisite sul concetto di equiscomponibilità per
verificare i Teroremi di Euclide e il Teorema di Pitagora in modo che gli allievi ne arrivino a
capire gli enunciati più chiaramente. Completeremo il discorso sull’equiscomponibilità
verificando che, grazie ai teoremi di Euclide, è possibile costruire un quadrato che ha la
stessa area di un rettangolo dato. 2
CLASSE DI RIFERIMENTO
2° ANNO DI UN QALSIASI ISTITUTO DI SCUOLA SECONDARIA DI SECONDO GRADO
Prerequisiti
Elementi di geometria piana: assiomi, definizioni relative a segmenti, angoli, rette.
Principali caratteristiche di triangoli e quadrilateri.
Criteri di congruenza dei triangoli.
Teoremi di Euclide
Conoscenza base del software Cabrì.
OBIETTIVI
equiscomponibilità ed equivalenza
equivalenza di parallelogrammi
equivalenza di un triangolo e di un parallelogrammo
mostrare un esempio di come l’equiscomponibilità aiuta nel visualizzare e a
comprendere gli enunciati dei teoremi. Costruzione con Cabrì dell’enunciato dei
teoremi di Euclide e loro verifica. 3
Il percorso che segue ci permette di osservare che ogni poligono può essere
equiscomposto con un rettangolo equivalente al poligono dato e con un lato assegnato.
PRIMO RISULTATO
Due parallelogrammi aventi un lato in comune e i lati opposti a questo contenuti in una
stessa retta, sono equiscomponibili. Da questo come caso particolare si ha che dato un
parellelogramma, è possibile costruire un rettangolo avente la stessa area.
COSTRUZIONE
1. Traccia una retta r.
2. Prendi due punti, A e B, su di essa.
3. Prendi un punto C non appartenente ad r.
4. Traccia una retta parallela ad r, s, e passante per C.
5. Disegna una circonferenza di centro C e raggio AB.
6. Prendi l’intersezione fra la circonferenza e la retta r, nomina D il punto di
intersezione.
7. Disegna il poligono ABCD
8. Prendi un punto C’ sulla retta s.
9. Disegna una circonferenza di centro C’ e raggio AB.
10. Chiama D’ l’intersezione fra quest’ultima circonferenza e la retta s.
11. Disegna il poligono ABC’D’.
12. Misura l’area dei due poligoni. 28,08 cm²
q C' D'
D
p 28,08 cm²
C A B
f
SECONDO RISULTATO
Dato un triangolo, è possibile costruire un parallelogramma con la stessa area.
COSTRUZIONE
1. Disegna un triangolo ABC
2. Disegna il punto medio M del lato AB
3. Traccia la retta r parallela al lato AC e passante per M
4. Traccia la retta s parallela al lato AB e passante per C
5. Disegna l’intersezione delle rette r ed s e chiamalo N
6. Disegna l’intersezione P tra il lato BC e la retta r.
4
7. Traccia i segmenti PC, PN, NC, BP,BM,MP.
8. Disegna il triangolo BPM
9. Disegna il triangolo PNM
10. Con la funzione compasso disegna una circonferenza x di centro P e raggio NP.
11. Con la funzione “Punto su oggetto” disegna un punto coincidente con N.
12. Con la funzione compasso disegna una circonferenza y di centro M e raggio MP
13. Con la funzione compasso disegna una circonferenza z di centro P e raggio PC
14. Con la funzione “Intersezione di due oggetti” trova l’intersezione Q fra la
circonferenza y e la circonferenza z.
15. Disegna il poligono PQE C N E
P2 12,94 cm²
P1 parellelogrammo
P
T1
A M 12,94 cm² B
Puoi a questo punto osservare che da questi due risultati discende il terzo passo del
nostro percorso
TERZO RISULTATO
Dato un triangolo, è possibile costruire un rettangolo avente la stessa area
Siamo ora in grado di fare un altro passo
QUARTO RISULTATO
Dato un poligono, è possibile costruirne un altro equivalente con un lato in meno di quello
di partenza. Facciamo la costruzione per un pentagono qualsiasi, ma puoi provare per
esercizio a fare gli stessi passi per un poligono di un numero qualsiasi di lati.
COSTRUZIONE
1. Costruisci il poligono ABCDE
2. Traccia la diagonale AC
3. Traccia la retta r parallela ad AC e passante per B
4. Chiama B’ il punto di intersezione tra la retta DC e la retta r
5. Traccia il segmento AB’ 5
6. Osserva che i triangoli ABC e AB’C sono equivalenti, perché hanno la stessa base
AC e altezza congruenti
7. Ripeti il procedimento partendo tracciando la diagonale AD.
8. Ottieni il triangolo AB’’E equiscomponibile al pentagono ABCDE B''
40,01 cm²
D 1 P C 40,01 cm²
40,01 cm² B'
E P
B
A TEOREMA DELLO GNOMONE
Siamo pronti per il
Il termine”gnomone” in greco, significa “colui che fa conoscere”. Un palo conficcato
perpendicolarmente ad un piano orizzontale serviva a far conoscere l’ora del giorno in
base alla direzione della sua ombra; per questo veniva detto “gnomone”. Questa figura
non è altro che una squadra, ossia uno strumento che “fa conoscere” la perpendicolare.
COSTRUZIONE
1. Costruisci il rettangolo ABCD
2. Sul prolungamento del lato AB fissa un punto E
3. Traccia la retta r perpendicolare ad AE passante per E
4. Traccia la retta s perpendicolare ad AE passante per B
5. Traccia il segmento CE
6. Traccia la retta t per D parallela a CE
7. Chiama F il punto di intersezione la retta t e la retta r
8. Traccia la retta u per A parallela a CE
9. Chiama G il punto di intersezione tra u e s
10. Hai ottenuto così un altro rettangolo BEFG.
¾ Verifica che BEFG è un rettangolo; per fare questo puoi:
1. tracciare la retta passante per G e perpendicolare a GB; essa passa anche
per………..
2. misurare l’angolo BGF, esso misura:………….
6
¾ Verifica che il triangolo BEFG è equiscomponibile con il rettangolo di partenza
ABCD. Poiché due figure equiscomponibili hanno la stessa area, per far questo puoi
misurare l’area dei due rettangoli.
¾ Muovi il punto E sulla retta AB e verifica che la costruzione funzioni e che l’area sia
sempre uguale.
¾ Considera adesso il luogo dei punti di F al variare di E cerca di capire cosa è.
1. Ottieni una curva nota?
…………………………………………………………….
2. Che tipo di proporzionalità esiste tra la base e l’altezza de rettangoli che
hanno la stessa area?
…………………………………………………………………..
3. Detta x la misura di BE, y quella di FE e k quella dell’area (costante) dei
rettangoli, quale formula permette di ricavare l’equazione del luogo
trovato?
………………………………………………………………………
F
G
N E
B
M
A C
D
Con questo ultimo risultato abbiamo visto come da un poligono qualsiasi posso ottenere
un rettangolo equiscomponibile di lato assegnato.
7
Alcune applicazioni dei risultati ottenuti
AREA DEL TRAPEZIO
Il trapezio ha l’area equivalente di un triangolo avente come base la somma delle basi del
trapezio e come altezza l’altezza del trapezio.
Dimostrazione
1. Costruisci un trapezio ABCD di basi AB e CD
2. Prendi il punto medio M di BC.
3. Traccia la retta per MD
4. Traccia la retta per AB
5. Chiama E il punto di intersezione tra le due rette
6. Disegna il triangolo AED
¾ Verifica che l’area di ADE è equivalente all’area del trapezio ABCD
¾ Cosa accade se C coincide con D?
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
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