gaiabox di gaiabox
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Di fronte alla molteplicità dei sistemi geometrici, tutti possibili dal punto di vista logico in quanto non contraddittori al loro interno, è naturale per Poincaré porsi il problema della "natura" della geometria, ossia il problema di quale geometria corrisponda allo spazio reale.

Due risposte erano state date a questo problema: quella del kantismo, secondo cui gli assiomi della geometria sono a priori; e quella dell'empirismo, secondo cui essi sono a posteriori, basati sull'esperienza. La risposta kantiana è stata però messa in discussione dalla nascita delle geometrie non euclidee: infatti, sugli assiomi della geometria fossero giudizi sintetici a priori, allora noi non potremmo pensare la loro negazione, né costruire su questa un edificio teorico, cosa che invece è avvenuta proprio con l'avvento di geometrie diverse da quella di Euclide. D'altra parte, secondo Poincaré, non è neppure possibile sostenere che le proposizioni geometriche derivino dall'esperienza, siano cioè suscettibili di verifica empirica, poiché — qui sta la novità della sua posizione — nessuna esperienza potrà mai verificare o falsificare un teorerna geometrico.

Gli assiomi della geometria quindi sono libere creazioni dell'uomo che si è convenuto di accettare, sono convenzioni, non leggi vere perché a priori o perché fondate su osservazioni empiriche. Per giustificare questa affermazione, Poincaré osserva, in primo luogo, che le nozioni geometriche sono nozioni ideali, mentre le esperienze si fanno con oggetti materiali, non con rette o circonferenze ideali, In secondo luogo sottolinea che, se la geometria fosse dipendente dall'esperienza, essa sarebbe soggetta a un continuo processo di revisione; al contrario la geometria ha un carattere stabile, e anche il sorgere delle geometrie non euclidee non ha portato al rifiuto del vecchio sistema euclideo.

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