Esercizio geometrico con le equazioni di secondo grado
Approfondiamo un esercizio di geometria con le equazioni di secondo grado, più specificatamente sul triangolo rettangolo.Esercizio
In un triangolo l'ipotenusa BC misura 433 cm. L'area è pari a 29580 cm2. Determinare la lunghezza di AB e di AC.
Svolgimento
Per Teorema di Pitagora, sappiamo che
[math]AB^2+AC^2=433^2=187489[/math]
Troviamo [math]AB+AC[/math]
con un metodo furbo, eleviamo l'espressione al quadrato:[math](AB+AC)^2= AB^2+AC^2+2*AB*AC[/math]
Sostituiamo i valori che conosciamo: [math](AB+AC)^2 = 187489+2*AB*AC[/math]
Inoltre il doppio prodotto dei cateti non sarà il quadruplo dell'area del triangolo, visto che A = [math]\frac{AB * AC}{2}[/math]
? Allora:[math](AB+AC)^2 = 187489+118320 = 305809[/math]
Da cui ricaviamo che [math]AB+AC = \sqrt{305809} = 553[/math]
Ora abbiamo a disposizione sia la somma che il prodotto dei cateti.AB+AC = 553
AB * AC = 59160
Allora:
AB(553-AB) = 59160
Di conseguenza:
[math]-AB^2+553AB-59160 = 0[/math]
Da cui si ricava che AB = [math]\frac{-553+\sqrt{553^2-4*59160}}{-2}=\frac{-553+263}{-2}=\frac{-290}{-2}=145 cm[/math]
Adesso [math]AC = \frac{2S}{AB} = \frac{2*29580}{145} = \frac{59160}{45} = 408 cm[/math]
Abbiamo quindi ricavato che [math]AC = 408 cm[/math]
, [math]AB = 145 cm[/math]
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