Dimostrazione geometrica su triangoli

Dimostrazione tramite criteri di congruenza dei triangoli

sia abc un triangolo acutangolo.
sia ¯(ah) l’altezza relativa al lato ¯bc e ¯bk l’altezza relativa al lato ¯ac.
sul prolungamento di ¯(ah), dalla parte di h, si consideri il punto a’ tale che ¯(ah)≅¯(a'h).
sul prolungamento di ¯bk, dalla parte di k, si consideri un punto b’, tale che ¯bk≅¯(b'k).
si vuole dimostrare che ¯(a'b)≅¯(ab')
si riportano in sintesi le ipotesi e la tesi da dimostrare
ipotesi
¯(ah) è l’altezza relativa al lato ¯bc
¯bk è l’altezza relativa al lato ¯ac
¯(ah)≅¯(a'h)
¯bk≅¯(b'k)
tesi
¯(a'b)≅¯(ab')

dimostrazione
si faccia riferimento all’immagine in allegato
si considerino i triangoli rettangoli ahb (retto in h) ed a’hb (anch’esso retto in h), essi sono uguali per il primo criterio di congruenza dei triangoli (due triangoli sono congruenti se hanno uguali due lati e l’angolo fra essi compreso), in quanto
¯(bh) è un lato in comune
ah ̂b= a'h ̂b=90° poiché si è prolungato il lato ¯(ah)
¯(ah)≅¯(a'h) per costruzione
dalla congruenza di tali triangoli si ricava che ¯(a'b)≅¯ab.

si considerino adesso i triangoli rettangoli akb ed akb’, entrambi retti in k.
tali triangoli rettangoli sono uguali per il primo criterio di congruenza dei triangoli (due triangoli sono congruenti se hanno uguali due lati e l’angolo fra essi compreso), in quanto
¯ak è un lato in comune
bk ̂a= b'k ̂a=90° poiché si è prolungato il lato ¯bk
¯bk≅¯(b'k) per costruzione
dalla congruenza di tali triangoli si ricava che ¯ab≅¯(ab').

quindi tramite la dimostrazione della congruenza dei triangoli rettangoli ahb ed a’hb (entrambi retti in h) si è trovato che ¯(a'b)≅¯ab.
mentre tramite la dimostrazione della congruenza dei triangoli rettangoli akb ed akb’ (entrambi retti in k) si è trovato che ¯ab≅¯(ab').

se ne conclude che per la proprietà transitiva
¯(a'b)≅¯ab ∪¯ab≅¯(ab^' ) → ¯(a'b)≅¯(ab')
da cui deriva la tesi.

la stessa tesi poteva essere dimostrata in maniera molto più veloce, senza usare i criteri di congruenza dei triangoli, ma usando le proprietà dei triangoli isosceli.
il procedimento sarebbe stato il seguente:
si consideri il triangolo aba’, tale triangolo è isoscele perché ¯(a^'h)≅¯(ah) ed il segmento ¯(bh) è perpendicolare alla base ¯(aa') per costruzione.
quindi poiché l’altezza ¯(bh) divide la base ¯(aa') in due parti uguali (caratteristica dei triangoli isosceli) il triangolo aba’ è isoscele.
con un ragionamento del tutto analogo, si dimostra che anche il triangolo bab’ è isoscele, in quanto il segmento ¯ak è perpendicolare a ¯(bb') e lo divide in due parti uguali (quindi anche in questo caso, l’altezza divide la base in due parti uguali, caratteristica dei triangoli isosceli).
poiché i due triangoli isosceli considerati (aba’ e bab’) hanno il lato ¯ab in comune, se ne conclude che tali triangoli isosceli hanno i lati uguali fra loro e quindi
¯(a'b)≅¯ab ≅¯(ab^' ) → ¯(a'b)≅¯(ab')
si noti che tali triangoli isosceli non sono uguali fra loro, hanno solo i lati uguali.

specifiche
tengo a precisare quanto segue: solitamente i vertici e gli angoli di un qualunque poligono, nonché il poligono stesso e più in generale, tutti i punti del piano e dello spazio, in geometria vengono indicati con le lettere maiuscole (come effettivamente ho riportato nell’immagine allegata).
per problemi di formattazione dell’appunto ho dovuto scrivere tutto il testo dello stesso in stampatello minuscolo, ma le lettere che indicano triangoli, vertici, angoli, punti dei triangoli in questione sono da considerarsi tutti indicati da lettere maiuscole.