Geometria Analitica: Prontuario per i problemi più comuni

Passaggi per risolvere problemi di geometria analitica più comuni

a) Retta, triangoli e poligoni

Equazione canonica della retta:

(esplicita)

(implicita)

1a) Ricerca del punto d'incontro (intersezione) tra 2 rette

Si risolve il sistema tra le equazioni delle 2 rette.

2a) Ricerca dell'area di un triangolo note le coordinate dei 3 vertici

Si calcola prima la distanza tra 2 vertici scelti come base; quindi si cerca l'equazione della retta congiungente i 2 vertici precedenti in forma implicita; si calcola poi la distanza (altezza) tra questa retta (base) e il terzo vertice; infine si svolge il semiprodotto tra la misura della base e l'altezza.

3a) Trovare l'equazione della retta passante per un punto dato e parallela ad una retta data

Si scrive prima l'equazione del fascio di rette passanti per il punto dato; si sostituisce al generico coefficiente angolare del fascio il coefficiente angolare della retta data.

4a) Trovare l'equazione della retta passante per un punto dato e perpendicolare ad una retta data

Si scrive prima l'equazione del fascio di rette passanti per il punto dato; si sostituisce al generico coefficiente angolare del fascio il reciproco ed opposto (l'antireciproco) del coefficiente angolare della retta data.

5a) Verificare se un punto dato appartiene ad una retta nota

Si sostituiscono le coordinate del punto nell'equazione della retta; se si trova una identità allora il punto appartiene alla retta.

6a) Equazione delle 2 bisettrici di due rette di cui si conoscono le equazioni

Sapendo che la bisettrice è una retta che divide l'angolo formato tra 2 rette in due parti uguali, se P(x,y) è un punto qualsiasi di una bisettrice si uguagliano le distanze di P generico dalle 2 rette con la relativa formula distanza punto-retta facendo seguire all'uguale i due segni opposti + e -, ovvero d1=+- d2. Risolvendo le 2 equazioni, prima col segno + e poi col segno -, si trovano le 2 equazioni delle 2 rette che saranno perpendicolari tra loro.

7a) Trovare le coordinate del quarto vertice di un parallelogramma note le coordinate degli altri 3 vertici

Si risolve un sistema nel quale si inseriscono le uguaglianze delle distanze AB=CD e BC=AD (elevandole al quadrato per eliminare le radici quadrate).

8a) Coordinate del baricentro di un triangolo

Ricordando che il baricentro di un triangolo è il punto d'incontro delle sue 3 mediane e sapendo che la mediana è il segmento che unisce ogni vertice con il punto medio del lato opposto, per trovare il baricentro si trovano prima le equazioni di 2 mediane (equazione retta per 2 punti - vertice e punto medio - dopo aver trovato le coordinate del punto medio) e quindi si svolge il sistema tra le 2 equazioni delle 2 mediane.

9a) Coordinate dell'incentro di un triangolo

Ricordando che l'incentro di un triangolo è il punto d'incontro delle 3 sue bisettrici e che la bisettrice tra due rette si trova come spiegato nel problema n. 6 di questo paragrafo, per trovare l'incentro di un triangolo si trovano prima le equazioni dei 3 lati del triangolo e quindi si scelgono 2 di esse e si trova una bisettrice (con il segno +) formata da tali 2 rette; si ripete il procedimento per altri 2 lati; trovate 2 bisettrici si svolge il sistema tra esse trovando così l'incentro del triangolo. Si ricorda anche che l'incentro è il centro del cerchio inscritto al triangolo.

10a) Coordinate del circocentro di un triangolo

Ricordando che il circocentro di un triangolo è il punto d'incontro dei 3 suoi assi e che l'asse di un segmento è la perpendicolare condotta dal suo punto medio, per trovare le coordinate del circocentro di un triangolo si trovano prima le equazioni di due assi di due lati del triangolo procedendo come spiegato nel problema 4) del presente paragrafo, ovviamente dopo aver trovato i due relativi punti medi e i coefficienti angolari dei 2 lati rispettivi; si svolge quindi il sistema tra i 2 assi e si trovano così le coordinate del circocentro del triangolo. Si ricorda anche che il circocentro è il centro del cerchio circoscritto nel triangolo.

11a) Coordinate dell'ortocentro di un triangolo

Ricordando che l'ortocentro di un triangolo è il punto d'incontro delle 3 sue altezze e che per altezza si intende la perpendicolare condotta da ogni vertice del triangolo al suo lato opposto, per trovare l'ortocentro si trovano prima le equazioni di due altezze procedendo come spiegato nel problema 4 di questo paragrafo, dopo aver trovato le equazioni di 2 lati del triangolo, e quindi svolgendo il sistema tra le 2 altezze.

12a) Distanza tra 2 rette parallele note

Si trova prima un punto di una delle due rette (dando ad x un valore arbitrario e trovando così il valore corrispondente della y). Si calcola quindi la distanza tra punto e retta.

13a) Luogo geometrico dei punti equidistanti da due punti

Trovare la retta passante per i due punti, trovare l'asse del segmento come spiegato nel problema 4 e 10 del presente paragrafo avendo prima trovato il punto medio del segmento formato dai 2 punti dati.

Il luogo geometrico è la perpendicolare al segmento che passa per il suo punto medio, e pertanto avrà pendenza pari all'antireciproco della retta passante per i due punti e le coordinate del punto medio del segmento ne soddisferanno l'equazione.

14a) Luogo geometrico dei punti equidistanti da 2 rette note

Basta trovare le bisettrici delle due rette come spiegato nel problema 6 di questo paragrafo.

15a) Coordinate generiche di un punto di una qualunque equazione

Trovare l'equazione esplicita della retta o della curva, sostituire alla x il valore generico

e ricavare la y in funzione di questo.

b) Circonferenza

Equazione canonica della circonferenza

1b) Riconoscere se un'equazione è quella di una circonferenza

Devono esistere tutte e tre le seguenti condizioni:

• I termini di secondo grado della x e della y devono essere uguali.
• Non vi deve essere il termine in xy.
• Il calcolo del raggio deve risultare positivo.

2b) Verificare se un punto noto è interno, esterno o giace sulla circonferenza

Considerare la somma dei quadrati delle coordinate del punto:

Se la somma risulta minore del quadrato del raggio allora il punto è interno al cerchio; se la somma è maggiore del quadrato del raggio allora il punto è esterno al cerchio; se la somma è uguale al quadrato del raggio allora il punto appartiene alla circonferenza.

3b) Trovare i punti di intersezione tra una circonferenza ed una retta o tra 2 circonferenze

Risolvere il sistema composto dalle equazioni della circonferenza e retta o delle 2 circonferenze. Il numero delle soluzioni coincide con il numero dei punti di intersezione.

4b) Verificare se una retta è esterna, tangente o secante ad una circonferenza

Si possono utilizzare due procedimenti:

• Si cerca la distanza dal centro della circonferenza alla retta: se tale distanza è maggiore del raggio allora la retta è esterna; se tale distanza è uguale al raggio allora la retta è tangente; infine se tale distanza è minore del raggio allora la retta è secante.
• Si risolve il sistema tra l'equazione della circonferenza e l'equazione della retta e si trova una equazione di secondo grado: se il discriminante (delta) di tale equazione è >0 (e quindi si trovano due soluzioni reali e distinte) si avranno 2 punti di intersezione e la retta sarà secante; se DELTA<0, non vi saranno soluzioni e pertanto la retta è esterna (nessuna intersezione); se DELTA=0 allora la retta è tangente (due soluzioni coincidenti ovvero due intersezioni coincidenti).

5b) Equazione della retta passante per un punto e tangente ad una circonferenza

Si premette che se il punto è esterno ad una circonferenza allora sono due le tangenti che possono trovarsi; se il punto appartiene alla circonferenza allora vi è una sola tangente; se infine il punto è interno alla circonferenza allora da esso non possono essere tracciate tangenti. Si procede risolvendo il sistema tra l'equazione della circonferenza e il fascio proprio di rette di centro nel punto. Si troverà alla fine un'equazione parametrica di secondo grado (parametro m). Si impone DELTA=0 e si trovano 2 valori di m se il punto è esterno, un solo valore di m se il punto appartiene alla circonferenza. Si sostituiscono questi valori di m nel fascio e si trovano le tangenti alla circonferenza.

6b) Equazione di una circonferenza noti il centro e un punto di questa

Dopo aver trovato la distanza CP (raggio) si scrive l'equazione della circonferenza noti centro e raggio.

7b) Equazione di una circonferenza noti gli estremi di un diametro

Si cercano prima le coordinate del punto medio tra i 2 punti dati. Tale punto medio risulta il centro della circonferenza. Si calcola quindi la semidistanza tra i due punti dati che risulta il raggio (ovvero si divide per 2 la lunghezza del diametro). Quindi si scrive l'equazione della circonferenza dati il centro e il raggio.

8b) Equazione della circonferenza che passa per 3 punti noti

I procedimenti possono essere 2:

• Si scrivono le equazioni degli assi di AB e di BC (vedi problemi 4 e 10 del paragrafo a di questo trattato); si svolge il sistema tra questi 2 assi e si trova il centro della circonferenza; si cerca quindi la distanza tra centro e un punto (raggio) e infine si scrive l'equazione della circonferenza noti centro e raggio.
• Si scrive l'equazione canonica della circonferenza; si risolve il sistema a 3 incognite (a,b,c) ottenuto sostituendo le coordinate dei 3 punti in x e y dell'equazione e quindi si scrive l'equazione canonica sostituendo ad a,b,c i valori ottenuti. N.B.) È consigliabile ricavare c dalla prima equazione e sostituire nella II e III equazione.

c) Parabola

Equazione canonica della parabola

con asse di simmetria parallelo all'asse y, direttrice parallela all'asse x;

con asse di simmetria parallelo all'asse x, direttrice parallela all'asse y.

1c) Rappresentare graficamente una parabola

Trovare le coordinate del vertice e le intersezioni con gli assi. Per maggiore precisione, sostituire alla x qualche valore arbitrario e ricavare la y.

2c) Equazione della parabola passante per 3 punti noti

Si procede in modo simile al problema 8 del paragrafo b. Si scrive l'equazione della parabola. Si sostituiscono in x e y le coordinate dei 3 punti e si ottiene un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c) delle quali si trovano i valori e quindi si sostituiscono nell'equazione generica.

3c) Equazione della parabola note le coordinate del vertice e di un punto

Si procede in modo simile al precedente problema: si scrive l'equazione generica della parabola; si crea un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c) nelle quali si sostituiscono in x e y le coordinate del vertice e del punto; nella III equazione si uguaglia l'ascissa (ordinata) del vertice alla relativa formula. Si ricorda che se l'asse della parabola è verticale (

) l'equazione della parabola è e il vertice ha ascissa , mentre se l'asse è orizzontale () l'equazione della parabola è e il vertice ha ordinata .

4c) Equazione della parabola note le coordinate di 2 punti e l'equazione dell'asse

Si procede in modo simile al precedente problema: si scrive l'equazione generica della parabola; si crea un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c) nelle quali si sostituiscono in x e y le coordinate dei 2 punti e nella terza si impone -b/2a = valore dell'asse. Trovati a,b,c si sostituiscono tali valori nell'equazione generica.

5c) Equazione della parabola, note le coordinate di 2 punti e l'equazione della direttrice

Si procede in modo simile al precedente problema: si scrive l'equazione generica della parabola; si crea un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c) nelle quali si sostituiscono in x e y le coordinate dei 2 punti e nella terza si impone 4ac-b^2=valore della direttrice. Trovati a,b,c si sostituiscono tali valori nell'equazione generica.

6c) Punti di intersezione tra una retta e una parabola o tra due parabole

Problema simile al 3 del paragrafo b. Basta risolvere il sistema composto dalle equazioni della parabola e retta o delle 2 parabole.

7c) Posizione reciproca tra retta e parabola (esterna, tangente o secante)

È simile al problema 4 del paragrafo b. Si risolve il sistema tra l'equazione della parabola e l'equazione della retta e si trova una equazione di secondo grado della quale si trova il discriminante (DELTA). Se DELTA<0 allora la retta è esterna (nessuna intersezione); se DELTA=0 allora la retta è tangente (due intersezioni coincidenti); se DELTA>0 allora la retta è secante (due intersezioni distinte).

8c) Equazione della retta passante per un punto e tangente ad una parabola

Problema simile al 5 del paragrafo b. Si premette che se il punto è esterno ad una parabola allora sono due le tangenti che possono trovarsi; se il punto appartiene alla parabola allora vi è una sola tangente; se infine il punto è interno alla parabola allora da esso non possono essere tracciate tangenti. Si procede risolvendo il sistema tra l'equazione della parabola e il fascio proprio di rette passanti per il punto. Si troverà alla fine un'equazione parametrica di secondo grado (parametro m). Si impone DELTA=0 e si trovano 2 valori di m se il punto è esterno, un solo valore di m se il punto appartiene alla parabola. Si sostituiscono questi valori di m nel fascio e si trovano le tangenti alla parabola.

d) Ellisse e iperbole

Equazione canonica dell'ellisse:

con centro nell'origine e fuochi sull'asse x.

Equazione canonica dell'iperbole:

con centro nell'origine e fuochi sull'asse x.

1d) Equazione dell'ellisse o dell'iperbole nota la misura di un asse e passante per un punto noto

Sapendo che l'ellisse ha equazione canonica

e che 2a e 2b sono le misure dei 2 assi (il primo sull'asse x e il secondo sull'asse y), si calcola a oppure b dimezzando il valore dato; si sostituiscono ad x e y le coordinate del punto P e quindi si trova il valore incognito b oppure a. In modo analogo si può procedere per l'iperbole.

2d) Equazione dell'ellisse con il vertice e un fuoco

Si presentano 2 casi:

• Se il vertice e il fuoco stanno sullo stesso asse, per esempio sull'asse x, allora si conosce il valore di a (oppure di -a) e di c (oppure di -c). Si calcola b con la formula relativa e quindi si scrive l'equazione dell'ellisse. In modo analogo si può risolvere per l'iperbole.

3d) Equazione dell'ellisse noti eccentricità e un fuoco

Sapendo che l'eccentricità (in base all'equazione e alla misura dell'asse maggiore) risulta c/a oppure c/b e che il fuoco ha coordinate (c,0) oppure (c,b), si calcola, dati c ed a (oppure b), facilmente b (oppure a) e quindi si scrive l'equazione dell'ellisse. In modo analogo si può risolvere per l'iperbole.

4d) Equazione dell'ellisse note le coordinate di un punto e quelle di un fuoco

La coordinata diversa da zero è il valore di c. Si sostituiscono nell'equazione al posto di x e y le coordinate del punto. Si trova così un'equazione nelle incognite a e b. Si eleva al quadrato il valore di c e si uguaglia ad a^2-b^2 (oppure b^2-a^2) e si crea un sistema dal quale si ricavano a e b. In modo analogo si può risolvere per l'iperbole.

5d) Equazione dell'ellisse sapendo le coordinate di due punti

Nell'equazione dell'ellisse si pone 1/(a^2)=u e 1/(b^2)=v. Si scrive un sistema sostituendo ad x e y di ogni equazione le coordinate di ogni punto. Ottenuto il sistema lineare di 2 equazioni nelle incognite u e v e risolto si trovano i loro valori, posto a=1/u e b=1/v si può scrivere l'equazione dell'ellisse. Questo problema si può ripetere identicamente per l'iperbole.

6d) Equazione canonica dell'ellisse scritta in forma implicita

: si divide ogni termine per q e si porrà q/m=a^2, q/p=b^2 e in questo modo si trova l'equazione. Questo problema si può ripetere identicamente per l'iperbole.

7d) Equazione dell'iperbole note le equazioni degli asintoti e le coordinate dei fuochi

Sapendo che gli asintoti hanno equazione y=+-b/a e che dato un fuoco viene conosciuto il valore di c il cui quadrato è uguale ad a^2+b^2, si risolve un sistema ponendo in una equazione b/a=valore asintoto e nell'altra a^2+b^2=valore di c.

8d) Equazione dell'iperbole note le equazioni degli asintoti e le coordinate di un punto

Si procede come nel caso precedente impostando un sistema di 2 equazioni ponendo nella prima b/a=valore asintoto e nella seconda sostituendo nell'equazione, al posto di x e y, le coordinate del punto.

9d) Equazione dell'iperbole equilatera (con equazione riferita agli asintoti) che passa per un punto noto

Sapendo che l'equazione dell'iperbole equilatera (con equazione riferita agli assi) è

, si sostituiscono le coordinate del punto in x e y e si trovano i valori di a.

10d) Equazione dell'iperbole equilatera (con equazione riferita agli asintoti) che passa per un punto dato

Sapendo che l'equazione dell'iperbole equilatera (con equazione riferita agli asintoti) è

, si sostituiscono le coordinate del punto in x e y e si trova il valore di k.

11d) Equazioni delle tangenti condotte da un punto ad un'ellisse o ad un'iperbole

Il procedimento è identico a quello illustrato nei problemi 5 paragrafo b (circonferenza) oppure 8 paragrafo c (parabola).