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Esercizi con Formule di Viète

I seguenti esercizi sono in ordine di difficoltà.
Esercizio 1
Calcolare il valore di
[math]\frac{10}{2+i}+\frac{10}{2-i}[/math]

Svolgimento
Scriviamo la frazione come
[math]\frac{10}{a+2}+\frac{10}{b+2}[/math]
.
Al posto di a e b possiamo scrivere i e -i.
Se le consideriamo come radici di un polinomio
[math]p(x)[/math]
, allora
[math]p(x) = x^2+1[/math]
, da cui ricaviamo che la somma delle radici è 0, mentre il prodotto è 1.
Sviluppiamo ora, chiamando S la somma delle radici e P il prodotto:
[math]\frac{10}{a+2}+\frac{10}{b+2} = \frac{10(b+2)+10(a+2)}{(a+2)(b+2)} = \frac{10b+20+10a+20}{ab+2a+2b+4} = \frac{10S+40}{P+2S+4} = \frac{40}{5} = 8[/math]
Esercizio 2
Dato il polinomio
[math]p(x) = x^3-x^2+x-1[/math]
, e dette a, b, c le sue radici calcolare:
[math](a-3)^2(b-3)^2(c-3)^2[/math]
.
Svolgimento
Innanzitutto notiamo che
[math]p(x)[/math]
ha una radice intera, cioè 1. Quindi a = 1.
Ora b e c sono le soluzioni dell'equazione
[math]x^2+1[/math]
, quindi sappiamo che b+c = 0, b+c = 1.
Calcoliamo ora
[math](b-3)^2(c-3)^2[/math]
.
Il valore cercato equivale a:
[math][(b-3)(c-3)]^2 = [bc-3(b+c)+9]^2 = [1+9]^2 = 100[/math]
Ora, dato che a = 1,
[math](a-3)^2 = (-2)^2 = 4[/math]
.
Il risultato è quindi 100*4 = 400.

Esercizio 3
Calcolare la somma dei cubi delle radici del polinomio
[math]x^2-13x+4[/math]
.
Svolgimento
Chiamiamo le radici a e b, inoltre a+b = S, ab = P
[math](a+b)^3 = a^3+b^3+3a^2b+3ab^2[/math]
.
Allora si ha che (chiamando R il risultato):
[math]S^3 = R+3SP[/math]
Quindi R =
[math]S^3-3SP = S(S^2-3P) = 13(169-12) = 2041[/math]
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