Un approccio al problem solving

3. UN APPROCCIO ALL’INSEGNAMENTO DELLA RISOLUZIONE DEI

PROBLEMI.

Tutto ciò che verrà scritto in questa sezione (o per lo meno dal paragrafo 3.4 in poi) va

esplicitamente detto agli alunni per dar loro consapevolezza in merito a ciò che si sta facendo.

L’esplicitazione di questi contenuti diventa parte integrante del percorso che si vuole in questa tesi

proporre e dunque dell’insegnamento della matematica.

3.1 MOTIVAZIONI FONDAZIONALI

La convinzione che si è radicata in me, insegnando e traendo spunto dai corsi SSIS, articoli e

libri di testo è il fatto che l’attività di risoluzione dei problemi vada esplicitamente insegnata. A mio

avviso una parte del tempo che si passa in classe nelle ore di matematica va spesa per parlare

esplicitamente di come si debbano affrontare i problemi, di quali tecniche esistano per la risoluzione

di questi, quali schemi si possono utilizzare. Questi schemi saranno poi messi in luce ogni volta che

si risolverà un determinato tipo di problema, facendo vedere non solo il procedimento che si segue,

ma anche lo schema che si è usato per risolverlo. L’attività pratica, il mettere le mani in pasta è

indispensabile perché “risolvere problemi è un arte pratica, come il nuotare, o lo sciare, o il

suonare il piano: si può imparare solo con l’imitazione e la pratica. Se desiderate imparare a

nuotare dovete gettarvi in acqua, se desiderate diventare un risolutore di problemi, dovete risolvere

problemi” [5].

Il problem solving diventa quindi, nell’ottica qui proposta, un vero e proprio nucleo fondante

della disciplina matematica.

3.2 POSIZIONE NEL CURRICULUM SCOLASTICO DI TALI CONTENUTI

Per quanto detto gli schemi ed i metodi di risoluzione dei problemi saranno ripresi ogniqualvolta

si dovranno applicare, e ci saranno dunque argomenti che si presteranno in maniera maggiore o

minore all’esplicitazione di tali tematiche. È vero però che risulta necessario a mio avviso riservare

un “unità didattica” per gli argomenti proposti in questa sezione.

Quello che sono solito fare nella mia attività didattica è di spendere del tempo ad inizio anno per

parlare dell’attività di risoluzione di problemi. Si possono collocare dunque tali contenuti in una

classe prima ad inizio del primo quadrimestre, riprendendolo poi in seconda, sempre ad inizio anno.

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3.3 OBIETTIVI

Gli obiettivi da perseguire attraverso un unità di questo tipo sono la possibilità di:

℘ interpretare il testo,

℘ utilizzare consapevolmente le proprie conoscenze,

℘ fare delle scelte (in riferimento a strategie),

℘ valutare criticamente i risultati,

℘ essere consapevoli delle proprie capacità,

℘ essere disponibili ad un confronto dinamico,

℘ sviluppare il pensiero logico,

℘ scoprire connessioni e saper fare collegamenti,

℘ usare il linguaggio matematico,

℘ tradurre il linguaggio parlato in linguaggio matematico.

Gli insegnanti dal canto loro con l’insegnamento di tali argomenti possono:

℘ individuare gli schemi mentali degli allievi,

℘ effettuare interventi mirati per un eventuale feed back o per un feed over,

℘ determinare i diversi livelli di astrazione raggiunto dagli alunni,

℘ utilizzare il problema come avvio alla costruzione di nuove conoscenze.

3.4 COME APPROCCIARSI ALL’ARGOMENTO DELLA RISOLUZIONE DEI

PROBLEMI

Spesso la matematica è percepita dagli studenti come una disciplina in cui tutto è

preconfezionato, le cose si devono fare in una determinata maniera e solo in quella. Non c’è

possibilità di utilizzare la fantasia e si devono seguire schemi fissi, e se si esce dal seminato

certamente si sbaglierà.

Un altro problema, legato a quello appena enunciato, è che gli studenti a volte non capiscono da

dove si parta e dove si voglia arrivare. Soprattutto in geometria, ma capita anche in altri campi della

matematica, non si capisce perché le cose da cui si parte sono quelle e non si capisce che cosa si stia

cercando. Questo, come si diceva, è legato al primo aspetto messo in luce in quanto dato che gli

studenti non hanno partecipato al processo di costruzione, al percorso di scoperta che ha portato a

quei risultati, non è chiaro perché si parta da quei presupposti per arrivare a quelle conclusioni, non

è naturale, lo sarebbe solo se anche loro avessero provato a risolvere da soli, o meglio con l’aiuto

del docente, i problemi che hanno portato a quei risultati.

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Il fatto che “se si esce dal seminato certamente si sbaglierà” inoltre non deve essere vista come

una limitazione ma come una risorsa. La storia del pensiero umano è fatta di tentativi ed errori e a

questo si deve abituare il pensiero dei nostri studenti, o per lo meno si deve dar loro la possibilità di

sperimentare tale modalità.

L’attività di problem solving diventa a questo punto di primo piano e vediamo subito perché.

Daremo per assioma il fatto che l’utilizzo e lo sviluppo della fantasia, della creatività sia un

elemento stimolante e motivante per gli studenti. Un altro assunto che si farà è che gli studenti si

fidino del docente e di ciò che esso propone. Questo non sempre accade, lo ammetto, ma questo

aspetto dipende moltissimo dalla capacità del docente di guadagnarsi le fiducia degli alunni. Da

questi due assiomi partiremo per sviluppare il percorso di questa tesi.

La possibilità di utilizzare la risorsa creatività va sfruttata, ma per vedere come questo può

essere fatto dobbiamo analizzare prima cos’è un problema.

“Risolvere un problema significa trovare una strada per uscire da una difficoltà, una strada per

aggirare o superare un ostacolo, per raggiungere uno scopo che non sia immediatamente

raggiungibile. Risolvere un problema è un impresa specifica dell’intelligenza umana […]. In

generale un desiderio può condurre ad un problema oppure no. Se un desiderio fa venire subito in

mente, senza alcuna difficoltà, qualche azione ovvia che verosimilmente ci fa ottenere l’oggetto

desiderato non c’è problema. Se invece non viene in mente nessuna di tali azioni, ecco il problema.

Quindi avere un problema significa: cercare coscientemente un’azione appropriata per ottenere

uno scopo chiaramente concepito ma non immediatamente ottenibile. Trovare tale azione (o tali

azioni) porta a risolvere il problema” [5]

In classe porto sempre il paragone che risolvere un problema è come trovare le strada in un

labirinto che va dall’ingresso all’uscita. La metafora del labirinto è per me particolarmente

significativa: è una metafora che si rifà ad un gioco e dunque predispone gli allievi a tentare di

arrivare alla fine, rende conto in maniera chiara che per arrivare alla soluzione è possibile prendere

vicoli ciechi, che non portano dunque a risolvere il problema, ma che e indispensabile percorrere

per trovare la strada giusta. Si dovrà allora tornare indietro, e provare un’altra strada. Come in un

labirinto è possibile essere fortunati e trovare subito la strada giusta, ma si capisce che questa non è

la regola bensì una possibilità all’inizio poco probabile.

Questo dà già un idea di quanto sia necessaria la fase creativa nella soluzione di problemi.

Un giorno in classe mi è stato fatto notare come non è vero che ci sia poi molta fantasia

nell’applicare questo o quel metodo: “per risolvere una equazione il procedimento è quello!” 25

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“Certo - ho osservato - ma per arrivare a quella equazione ho dovuto ingegnarmi e cercare una

strada. Partendo dal punto di partenza posso seguire molte strade, posso provarne diverse, ma solo

una porterà alla soluzione.” Ho fatto poi alla lavagna tale schema:

Risorse Soluzione

chiarendo che in mezzo tra i due cerchi disegnati, e nel tracciare le varie strade che li possono

collegare, sta la creatività. Questo semplice schema, disegnato di getto alla lavagna quel giorno,

sarà l’oggetto di questa sezione. Esso verrà indagato ed ampliato per giungere a dei contenuti che

possono essere proposti in classe in modo proficuo.

Per arrivare ad essere dei buoni risolutori di problemi ci sono alcuni accorgimenti da seguire e

da esplicitare. Questi principi possono essere presi come attitudini mentali a cui far sempre

riferimento, utilizzabili poi all’interno di qualsiasi tecnica che si seguirà per risolvere un problema:

1. Va tenuto innanzitutto in considerazione che l’attività di risolvere problemi aiuta a risolverne

altri, bisogna far attenzione “a quei lineamenti del problema in questione che possono diventare

utili nel trattare problemi futuri” [5], o come diceva Descartes: “Ciascun problema che ho risolto è

diventato una regola che ha servito poi per risolvere altri problemi” [7].

2. Dunque: rifarsi a modalità ed esempi di come si risolvono o sono stati risolti alcuni problemi

specifici sviluppa la capacità di problem solving, con l’idea di non presentare “solo risoluzioni, ma

episodi di risoluzione di problemi”.

3. Considerare il problema come già risolto. Questo è un “trucco” che in certe occasioni è di

fondamentale importanza. Spesso si utilizza senza rendersene conto, ma diventa indispensabile in

alcuni momenti e saperlo usare in modo cosciente può essere un vantaggio. Citando ancora il Polya

“L’illusione è immaginare le belle cose che non si hanno. La gente dice che l’illusione è un male.

Non credetelo, questo è uno di quegli errori generalmente accettati. L’illusione può essere un male,

come è male troppo sale nella minestra e perfino un po’ d’aglio è male nella torta di cioccolata.

Voglio dire che l’illusione può essere un male se ce n’è troppa o al posto sbagliato, ma è un bene in

sé e può essere di grande aiuto nella vita e nel risolvere i problemi”

4. Dividere il problema in parti che sappiamo affrontare. Trovare insomma sottoproblemi.

5. Non aver paura di sbagliare, procedere con uno dei metodi più classici in matematica e nelle

scienze: per tentativi ed errori, incoraggiando l’uso intelligente delle approssimazioni successive

per la soluzione di problemi, tenendo in ogni caso sempre come punto di riferimento importante che

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il calcolo algebrico e diretto, come