Metodi geometrici per l'algebra: Tesina SSIS con approccio interattivo e software Cabri

PREREQUISITI:

1. area delle figure piane e figure equivalenti;

2. concetto di equazione di primo e secondo grado ad una incognita;

3. conoscenza base di Cabri (solo se l’insegnante intende far costruire

le figure dinamiche, invece di utilizzarle esclusivamente a supporto

didattico).

TEMPI PREVISTI: Per ciascun tipo di equazione: 1h di lezione in aula e

1h di laboratorio di informatica, se si utilizzano le immagini didattiche senza

farle costruire agli studenti (per un totale di 4h). Naturalmente i tempi si

dilatano notevolmente se si intende far ricostruire le figure agli studenti.

OBIETTIVI DIDATTICI: Proporre un’ampia riflessione tra le equazioni

e le loro soluzioni ricercate in determinati insiemi numerici.

APPROCCIO METODOLOGICO: Dopo aver descritto l’interpretazio-

ne geometrica delle equazioni di primo e secondo grado, si propongono delle

attività con Cabri che ne facilitano la comprensione, facendo interagire tra

loro il pensiero logico verbale con quello immaginativo. 3

1 Approccio geometrico alle equazioni di pri-

mo grado

Si consideri l’equazione di primo grado in una incognita:

ax = b con a e b positivi (1)

E’ possibile pensare ai coefficienti a e b e all’incognita x come a grandezze

geometriche, precisamente: risolvere l’equazione ax = b consiste nel trovare

il lato x di un rettangolo che ha l’altro di lunghezza a e l’area uguale all’area

b di un rettangolo anch’esso assegnato, come mostrato in figura: 4

1.1 Attività con Cabri

Prima di descrivere la figura dinamica che rappresenta il problema in esame,

è forse il caso di ricordare l’enunciato del cosiddetto teorema dello gnomone:

Teorema 1.1 (dello gnomone). Se per un punto di una diagonale di un

parallelogramma si conducono le parallele ai lati, il parallelogramma rimane

scomposto in altri 4 parallelogrammi dei quali i due non attraversati dalla

diagonale sono equivalenti. Vale anche il viceversa.

Questo permette di concludere che l’area del rettangolo blu è uguale all’area

del rettangolo azzurro quando il prolungamento del segmento BK incontra

il vertice D del rettangolo, ossia coincide con la sua diagonale.

Nella figura animata, realizzata con Cabri, a è rappresentato dal segmento

nero, mentre b dall’area azzurra. Muovendo il punto H varia la lunghezza

del segmento a; muovendo il punto A varia l’area del rettangolo azzurro, cioè

b; muovendo infine il punto C si varia il valore di x.

La soluzione x dell’equazione viene determinata quando l’area ax del ret-

tangolo blu è uguale all’area b del rettangolo azzurro e quindi, per il teorema

dello gnomone, quando il prolungamento del segmento BK coincide con la

diagonale del rettangolo.

In questa posizione, il segmento rosso rappresenta il secondo lato del

rettangolo equivalente a b che stiamo cercando (cioè il valore di x che risolve

l’equazione).

Modificando i dati iniziali a e b si osserva ad esempio che, tenendo fisso b

e aumentando il coefficiente a di x, la soluzione diventa sempre più piccola

mentre diminuendo a la soluzione diventa sempre più grande. 5

1.2 Prove di verifica

1. Risolvi con i metodi spiegati in classe le seguenti equazioni e poi verifica

i risultati ottenuti con la figura di Cabri:

(a) 3x = 2x + 6; −

(b) 3x + 4 + x = 6x 4;

− − −1.

(c) 2(3x + 1) 3(5 2x) =

2. Dopo aver ridotto le seguenti equazioni a forma normale (ax = b con a e b positivi),

verifica - utilizzando la figura dinamica di Cabri - che x = 4 è una

soluzione: −

(a) 7x + 2 = 12x 18;

−

(b) 5x 6 = 3x + 2;

(c) 4x + 8 = x + 20.

3. E’ noto che se riducendo i termini simili di una equazione ci si riconduce

6

alla forma 0·x = b, con b = 0 l’equazione non ammette soluzioni, perché

è impossibile trovare un numero che moltiplicato per 0 dia un valore

6

b = 0; sapresti “dimostrare” questa affermazione usando la figura di

Cabri?

4. Se dopo la riduzione a forma normale un’equazione si presenta nella

·

forma 0 x = 0, allora si dice che è indeterminata, ossia ammette

infinite soluzioni, perché qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà come

risultato 0. Riscontri la veridicità di questa affermazione sulla figura

di Cabri? 6

2 Il metodo di completamento dei quadrati

Si consideri l’equazione di secondo grado ad una incognita:

2

x + px = q con p e q positivi (2)

di cui si cercano le soluzioni positive. I termini dell’equazione (2) possono

2

essere interpretati come aree: x rappresenta l’area di un quadrato di lato x

e px l’area di un rettangolo di dimensioni p e x (ci si è limitati a considerare

il caso x > 0). Quest’ultimo rettangolo equivale ovviamente a 4 rettangoli

di dimensioni x e p/4. Il primo membro dell’equazione si può quindi rappre-

sentare come l’area del quadrato e dei quattro rettangoli come mostrato in

figura:

Ci si convince facilmente del fatto che il disegno si potrebbe “completa-

7

re” ad un quadrato aggiungendo quattro opportuni quadrati: ogni quadrato

“aggiuntivo” deve avere il lato lungo p/4:

L’area del quadrato più grande, cioè l’area del quadrato EF GH, è data

da: 2

p p

2

2 2

·

x + px + 4 = x + px +

4 4

|{z} |{z}

area area | {z }

quadrato area

rettangoli

azzurro quadrati

aggiunti

cioè da p 2

x + 2

(in effetti, anche senza conoscere l’espressione del quadrato di binomio, p/4+

x+p/4 = x+p/2 è proprio la misura del lato del quadrato EF GH). Affinché

8

2

l’equazione sia soddisfatta tale area deve essere uguale a q + p /4 (che è

2

una quantità positiva perché somma di due positive e p /4 è il termine che

abbiamo aggiunto al primo membro), quindi: 2

2 p + 4q

p p

2

=

x + = q +

2 4 4

da cui: p p

2 2

−p

p + 4q + p + 4q

p ⇒

= x =

x + 2 2 2

che fornisce la soluzione positiva dell’equazione (2).

2.1 Attività con Cabri

Relativamente alle equazioni di secondo grado, sono state realizzate due im-

magini dinamiche con Cabri: la prima (equazione2grado1.fig) rappresenta il

metodo appena esposto, cosiddetto di completamento del quadrato; la secon-

da (equazione2grado2.fig) permette di determinare il valore di x, assegnati i

valori di p e q nell’equazione (2).

2.1.1 Prima figura (equazione2grado1.fig )

In questa figura, puoi muovere il punto P o il punto X: trascinando il punto

P modifichi il coefficiente p dell’equazione (p positivo), trascinando X vari

la misura x del lato del quadrato. Dato un certo valore q positivo, risolvere

l’equazione 9

2

x + px = q con p e q positivi

significa trascinare il punto X fino a quando l’area della parte colorata (qua-

drato azzurro più rettangoli) non sia (approssimativamente) uguale a q. Ti

accorgi facilmente che puoi sempre trovare un valore x (positivo) tale che

l’equazione sia soddisfatta: ciò significa che un’equazione di questo tipo con

p e q positivi ammette sempre soluzioni reali.

2.1.2 Seconda figura (equazione2grado2.fig )

In questa figura, p è rappresentato dal segmento nero, mentre q dall’area blu.

Muovendo il punto P varia la misura di p; muovendo il punto Q varia l’area

del rettangolo blu, cioè q; muovendo infine il punto X varia il valore di x.

La soluzione x dell’equazione viene determinata quando l’area px del ret-

tangolo azzurro aggiunta all’area del quadrato celeste è uguale all’area q del

rettangolo blu e quindi, per il teorema dello gnomone (come nel caso del-

le equazioni di primo grado), quando il prolungamento del segmento BK

coincide con la diagonale del rettangolo.

In questa posizione, il segmento rosso rappresenta il lato del quadrato la

cui area sommata a quella del rettangolo azzurro è uguale a q che stiamo

cercando (cioè il valore di x che risolve l’equazione).

A questo punto è possibile quindi modificare i dati iniziali p e q, per

trovare a colpo d’occhio la soluzione dell’equazione.