Una nota sullo studio di alcune particolari funzioni

B C

+1

−

n k

Ponendo successivamente, nella (D.4.32), n=1,2,...,n, troviamo n equazioni nelle

( 2 ) ( 3 ) ( 1

)

( 0 ), ( 0 )...., ( 0 )

+

n

n incognite ; C’(0)=-1/2, e quindi applicando il metodo

C C C ( 1

) ( 0 )

+

n

di Cramer possiamo facilmente ricavare le n incognite, ed in particolare C

( ) −

z p

E.1.01 – Infine, prendiamo in esame la Funzione +

e u

( ) −

z p

Eseguendo lo sviluppo in serie di tipo (a) della Funzione p > 0, troviamo:

+

e u ,

1

   

− + −

p p k

∑ ∑ ( )

   

( ) ( ) ( 1

)

− − − − +

z p pz z k k k z p k (E.1.01)

+ = = −

e u e ue u e

   

   

k k

0 0

≥ ≥

k k 0

La serie indicata a destra della (E.1.01) è definita nel semipiano complesso ≥

R z

e

0

z

ad eccezione dei punti per i quali + =

e u .

Derivando, n volte, rispetto a z, la precedente relazione (E.1.01), otteniamo:

( )

(( ) )

−

z p n

+ =

e u 1



 + −

p k n

∑ ∑

( )

 

( 1

) ( 1

) ( ) − +

n k k n z p k ( , )( ) − −

z p k

= − − +

u p k e

  = +

C n k e u (E.1.02)

,

u p

 

k

0 0

≥

k =

K

( , )

Il coefficiente , oltre a dipendere da n e k, dipende anche da u e p.

C n k

,

u p 1

z

Ponendo, , nella (E.1.02), troviamo:

+ =

e u 1

 

+ −

p k n

∑ ∑

 

( 1

) ( 1

) ( ) (

1 ) − −

n k k n p k (E.1.03)

( , )

− − + −

u p k u

  = C n k

,

u p

 

k

0 0

≥

k =

K

0

Ponendo, , nella (E.1.02), abbiamo:

=

z 1

 

+ −

p k n

∑ ∑





( 1

) ( 1

) ( )

n k k n (E.1.04)

( , )(

1 ) − −

p k

− − +

u p k

  = +

C n k u

,

u p

 

k

0 0

≥

k =

K

Ponendo, , nella (E.1.02), ricaviamo:

π

=

z i 1

 

+ −

p k n

∑ ∑

 

( 1

) ( )

−

n p k n ( , )( 1

) − −

p k

− +

u p k

  = −

C n k u (E.1.05)

,

u p

 

k

0 0

≥

k =

K 47

Trasformiamo la (E.1.05) nella seguente relazione:

1

 

+ −

p k n

∑ ∑

  ( )

k n (E.1.06)

( 1

) ( , )( 1

) (

1 ) − −

n k p k

+

u p k

  = − − −

C n k u

,

u p

 

k

0 0

≥

k =

K

La serie indicata nel primo membro della (E.1.06), per u = 1, è certamente divergente,

e presenta un valore infinito, mentre per u diverso da 1, la medesima serie è rappresentata

dal valore del secondo membro della (E.1.06)

E’ veramente sensazionale osservare che la serie indicata nel primo membro

della (E.1.06), per u = 1, presenta un valore infinito, mentre, per u > 1, la medesima

serie è rappresentata da un valore finito, fornito dal valore del secondo membro

della (E.1.06). ( ) +

z p n , e passando al limite

Moltiplicando i membri della (E.1.02) per +

e u

ln( )

per , otteniamo:

→ −

z u

lim 1



 + −

p k

∑ ( )

 

( 1

) ( ) ( ) ( ) ( , )

+ − +

n z p n k n z p k

− + − + =

e u u p k e C n n (E.1.07)

  ,

u p

ln( )  

→ −

z u k

0

≥

k

Dalla (E.1.07) ricaviamo:

lim 1 1

 

 

+ − + −

p k p k

∑ ∑

( )

   

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− + − −

k n z p k p n p (E.1.08)

− + = − + = − ∞

u p k e u p k u

   

ln( )    

→ −

z u k k

0 0

≥ ≥

k k ( ) −

z p

E.2.01 -Sviluppo in serie di tipo (b) della Funzione +

e u ( ) −

z p

Eseguendo lo sviluppo in serie di tipo (b) della Funzione , troviamo:

+

e u

1

   

− + −

p p k

∑ ∑

   

( 1

)

− − − −

p k k zk

p k zk

( ) −

z p (E.2.01)

= −

u u e u u e

+ =

e u    

   

k k

0 0

≥ ≥

k k

La serie nell’ultimo membro a destra della (E.2.01) è definita nel sempiano

0 0

z

, ad eccezione dei punti nei quali

complesso ≤

R z + =

e u

e

Derivando, n volte, rispetto a z, la precedente relazione (E.2.01), otteniamo:

( )

(( ) )

−

z p n

+ =

e u 1

 

+ −

p k n

∑ ∑

 

( 1

)

− −

p k k n zk ( , )( ) − −

z p k

= −

u u k e

  = +

C n k e u (E.2.02)

,

u p

 

k

0 0

≥

k =

K

1

z

Ponendo, , nella (E.2.02), troviamo:

+ =

e u 48

1

 

+ −

p k n

∑ ∑

 

( 1

) (

1 )

− −

p k k n k ( , )

− −

u u k u

  = C n k (E.2.03)

,

u p

 

k

0 0

≥

k =

K

0 , nella (E.2.02), abbiamo:

Ponendo, =

z 1

 

+ −

p k n

∑ ∑

 

( 1

) −

k k n ( , )(

1 ) − −

p p k

− u k

  = +

u C n k u (E.2.04)

,

u p

 

k

0 0

≥

k =

K

La serie indicata nel primo membro della (E.2.04), per u = -1, risulta divergente,

con valore infinito, mentre, per u diverso da -1 , la medesima serie risulta

rappresentata da un valore finito, fornito dal valore del secondo membro della (E.2.04).

, nella (E.2.02), ricaviamo:

Ponendo, π

=

z i 1

 

+ −

p k n

∑ ∑

  − k n ( , )( 1

) − −

p p k

u k

  = −

u C n k u (E.2.05)

,

u p

 

k

0 0

≥

k =

K

Per u = 1, la serie indicata nel primo membro presenta un valore infinito, ma per u

diverso da 1, la medesima serie risulta rappresentata dal valore finito fornito

dal secondo membro della (E.2.05).

, nella (E.2.02), otteniamo:

Ponendo, = −∞

z n

∑ (E.2.06)

( , ) 0

− −

p k =

C n k u

,

u p

0

=

K ( ) +

z p n

Moltiplicando i membri della (E.2.02) per , e passando al limite

+

e u

ln( )

per , ricaviamo:

→ −

z u

lim 1

 

+ −

p k

∑  

( ) ( 1

) ( , )

+ − −

z p n p k k n zk (E.2.07)

+ − =

e u u u k e C n n

  ,

u p

ln( )  

→ −

z u k

0

≥

k

Dalla (E.2.07), troviamo:

lim 1 1

   

+ − + −

p k p k

∑ ∑

   

( 1

) −

k k n zk n (E.2.08)

− = = ∞

u k e k

   

ln( )    

→ −

z u k k

0 0

≥ ≥

k k

( , )

E.3.01 Calcolo dei coefficienti - Considerazioni

C n k

,

u p 1 − ut

1 z

−

z

Ponendo, nella (E.1.02), , da cui , ricaviamo:

=

e

+ =

e u t t

1

 

+ −

p k t n

∑ ∑

 

( 1

) ( 1

) ( ) ( ) +

n k k n p k , da cui:

( , ) +

p k

= − − +

u p k

  = C n k t

,

1 u p

 

k − ut

0 0

≥

k =

K

49

1

 

+ −

p k n

∑ ∑

 

( 1

) ( 1

) ( ) (

1 ) − −

n k k n k p k (E.3.01)

( , ) k

= − − + −

u p k t ut

  = C n k t

,

u p

 

k

0 0

≥

k =

K

( ) , rispetto a t, la (E.3.01), e ponendo dopo t = 0, otteniamo:

Derivando, m volte, ≤

m n

1

   

+ − m

p k m

∑ ∑ ( ) ( )

   

( 1

) ( 1

) ( ) ( ) ((

1 ) )

− − −

n k k n k j p k m j ( )

( , )( )

k m

= − − + −

u p k t ut

    = C n m t

,

u p

   

k j

0 0

≥ =

k j

( )

( )

k j è diverso da zero solo quando j = k, ricaviamo:

Ricordando che, nel punto t = 0, t

1

    ( ) −

m k

+ −

p k m Γ − + +

m k p k u

∑    

( 1

) ( 1

) ( ) !

n k k n ( , ) ! , cioè:

= − − +

u p k k = C n m m

    ,

u p

( )

   

k k Γ +

p k

0

≥

k 1

   

m

+ −

m p m

∑

   

( , ) ( 1

) ( ) ( )

n m k n (E.3.02)

= − − +

C n m u u p k

   

,

u p    

m k

0

=

k

da cui, per m = n, abbiamo: 1

   

+ − n

n p n

∑

   

( 1

) ( 1

) ( )

n n k n

( , ) (E.3.03)

= − − +

u p k

C n n    

,

u p    

n k

0

=

k 1

 

+ −

p n

  !

n

( 1

)( 2 )...( 1

)( 1

)

( , ) n n = u n

= − − − − − − − + −

p p p p n u

C n n

Ora,  

,

u p  

n

1 1

  

  

+ − + −

n

n p n p n

∑

     

( 1

) ( 1

) ( ) !

n n k n n

( , ) (E.3.04)

= − − + =

u p k u n

C n n      

,

u p      

n k n

0

=

k

Confrontando la