Un modo semplice per calcolare Pi greco

Un modo semplice per calcolare pi greco π

di Nunzio Miarelli [miarelli[at]interfree.it]

Tutti conosciamo l’esistenza della costante matematica definita come pi greco ( π ) che stabilisce il rapporto

fra il diametro e la circonferenza o area di un cerchio di raggio 1, ma come si calcola questa costante? Ci

sono molti modi, ma io ve ne propongo uno molto, molto semplice.

Questo modo consente di calcolare pi greco senza usare nessuna serie convergente, possiamo calcolare

direttamente il valore di pi greco con l’approssimazione (per difetto) che si vuole , per fare questo però

bisogna comparare approssimativamente l’area di un cerchio all’area di un triangolo isoscele molto

acuto,di cui si conoscono i due lati uguali e l’angolo fra essi compreso, cerco di spiegare come è possibile;

1)sappiamo che il rapporto fra cerchio iscritto e cerchio circoscritto allo stesso quadrato è di uno a due

2) Dunque se consideriamo l’area di un cerchio A di raggio = 1 iscritto in un quadrato e l’area di un cerchio

B. circoscritto allo stesso quadrato, quindi di raggio radice 2 ( 1,414213562373095048801688724209 )

si ottiene

che ½ del cerchio B = cerchio A.

3) Se si ripete la stessa operazione eseguita con il cerchio A. ,con il cerchio B. che sarà a sua volta iscritto

in un quadrato e circoscritto da un altro cerchio C. quindi di raggio =2 infatti radice di (radice2) al

quadrato +( radice2) al quadrato, = 2

Si ha che ½ del cerchio C. = cerchio B., ma se ½ del cerchio B. = cerchio A. allora ¼ del cerchio

C.=cerchio

A.

4) Facciamo quest’operazione anche con il cerchio C. ottenendo il cerchio D. con raggio = radice di (2x2x2)

= 2,8284271247461900976033774484194 che sarà uguale a due cerchi C, 4 cerchi B, 8 cerchi A, quindi 1/8

del cerchio D = cerchio A.

5 ) Eseguiamo un’ultimo raddoppio per chiarire il concetto, ottenendo il cerchio F. con raggio = radice di (

2,8284271247461900976033774484194 x 2,8284271247461900976033774484194 x 2 ) = 4 che sarà

uguale a due cerchi D conseguentemente uguale a 4 cerchi C, 8 cerchi B, 16 cerchi A dunque 1/16 del

cerchio F = cerchio A.

Infatti ( 4x4) x 3,14 = (1x1) x 3,14 x 16 , ammesso che il rapporto diametro circonferenza sia 3,14 , ma per il

calcolo proposto non ha importanza che questo valore sia esatto o meno , infatti anche se come rapporto

presunto usiamo che so 3,12 , abbiamo sempre che ; (4x4) x 3,12 = (1x1) x 3,12 x 16 , quindi 1/16 del

cerchio F. sarebbe sempre uguale al cerchio A. ,

però abbiamo tre dati certi ,non presunti ,che sono ; il raggio del cerchio F. = 16 ; il raggio del cerchio A.=

1 ; il numero di cerchi A. contenuti nel cerchio F. .= 16 conseguentemente visto che questa divisione può

essere effettuata anche in settori circolari conosciamo anche l’angolo compreso fra i due raggi di uno di

questi settori che è = 360° / 16.

Ho fatto questo esempio per chiarire che calcolare la corda” incognita” in modo trigonometrico del

e quindi l’area , al quale se si somma l’area fra la corda HL e l’arco da essa sotteso diventa

triangolo OHL

il settore circolare OHL equivalente al cerchio A. , è indipendente dal rapporto che si usa

Il modo che propongo in pratica consiste nel calcolare trigonometrigamente la corda HL e quindi l’area del

senza considerare l’area fra la corda HL e l’arco da essa sotteso , che sommati

triangolo isoscele OHL

insieme formano il settore circolare OHL equivalente all’area del cerchio A. , naturalmente in questo caso è

inutile calcolare perché l’area non presa in considerazione è troppo grande, per poter avere

un’approssimazioneper difetto diciamo “giusta” bisogna limitare al massimo l’area fra la corda e l’arco da

essa sotteso

Come ? continuando con l’esempio proposto,cioè a iscrivere e circoscrivere i cerchi dell’esempio,

ottenendo un settore circolare equivalente al cerchio A. con raggi sempre più lunghi e “corda sempre più

piccola”conseguentemente un triangolo isoscele con lati sempre più lunghi e base o corda che è “incognita

“sempre più corta .

È facile intuire che i cerchi di raggio =1 contenuti in un cerchio di raggio multiplo di 1 sono il risultato

del prodotto del raggio stesso preso in questione elevato al quadrato.