Indice
Definizione
Data
[math]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/math]
, con [math]f(t) = 0[/math]
per ogni [math]t , si chiama trasformata di Laplace (monolatera) di >div class="mathjax-container">[math]f[/math]
, e si indica con [math]\mathcal{L}[f](s)[/math]
, la funzione definita da
[math]\mathcal{L}[f](s) = \int_0^{+\infty} f(t) e^{-st} dt[/math]
dove
[math]s \in \mathbb{C}[/math]
, purché tale integrale esista finito. L'insieme degli [math]s \in \mathbb{C}[/math]
tali che l'integrale precedente esiste finito si chiama regione di convergenza. Se per un certo [math]\alpha \in \mathbb{R}[/math]
l'integrale
[math]\int_0^{+\infty} |f(t)| e^{-\alpha t} dt[/math]
converge, allora la trasformata di
[math]f[/math]
è definita per [math]s = \alpha + i \beta[/math]
, per ogni [math]\beta \in \mathbb{R}[/math]
, e la [math]f[/math]
si dice trasformabile.
Ascissa di convergenza: data
[math]f[/math]
, se esistono [math]\alpha, M, t_0 \in \mathbb{R}^+[/math]
, tali che [math]|f(t)| \le M \cdot e^{\alpha t}[/math]
, per ogni [math]t > t_0[/math]
, allora [math]\mathcal{L}[f](s)[/math]
esiste nel semipiano complesso [math]\text{Re}(s) > \alpha[/math]
, e [math]\alpha[/math]
si dice ascissa di convergenza.
Proprietà della trasformata di Laplace
Linearità
[math]\mathcal{L}[a f(t) + b g(t)](s) = a \mathcal{L}[f(t)](s) + b \mathcal{L}[g(t)](s)[/math]
, per ogni [math]a, b \in \mathbb{R}[/math]
Trasformata della derivata
[math]\mathcal{L}[f'(t)](s) = s \mathcal{L}[f(t)](s) - f(0)[/math]
[math]\mathcal{L}[f''(t)](s) = s^2 \mathcal{L}[f(t)](s) - s f(0) - f'(0)[/math]
[math]\mathcal{L}[f^{(n)}(t)](s) = s^n \mathcal{L}[f(t)](s) - s^{n-1} f(0) - s^{n-2} f'(0) - \ldots - f^{n-1}(0)[/math]
Trasformata dell'integrale
[math]\mathcal{L}[\int_0^t f(u) du](s) = \frac{1}{s} \mathcal{L}[f(t)](s)[/math]
Moltiplicazione per [math]t[/math]
[math]\mathcal{L}[t \cdot f(t)](s) = - \frac{d}{ds} \mathcal{L}[f(t)](s)[/math]
Divisione per [math]t[/math]
[math]\mathcal{L}[\frac{f(t)}{t}](s) = \int_s^{+\infty} \mathcal{L}[f(t)](u) du[/math]
Traslazione complessa
Se
[math]\mathcal{L}[f(t)](s) = F(s)[/math]
, allora
[math]\mathcal{L}[e^{at} f(t)](s) = F(s-a)[/math]
Traslazione nel tempo
Detta
[math]H(t)[/math]
la funzione di Heaviside, risulta
[math]\mathcal{L}[f(t-a) H(t-a)](s) = e^{-as} \mathcal{L}[f(t)](s)[/math]
Moltiplicazione per [math]t^n[/math]
[math]\mathcal{L}[t^n f(t)](s) = (-1)^n \frac{d^n}{d s^n} (\mathcal{L}[f(t)](s))[/math]
Prodotto di convoluzione
La trasformata di un prodotto di convoluzione equivale al prodotto ordinario delle trasformate, cioè
[math]\mathcal{L}[(f otimes g)(t)](s) = \mathcal{L}[f(t)](s) \cdot \mathcal{L}[g(t)](s)[/math]
dove
[math](f otimes g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) d \tau[/math]
denota il prodotto di convoluzione.
Trasformata di una funzione periodica
Se
[math]f[/math]
è una funzione periodica di periodo [math]T[/math]
, allora
[math]\mathcal{L}[f(t)](s) = \frac{1}{1 - e^{-sT}} \mathcal{L}[f_t(t)](s)[/math]
dove
[math]f_t(t)[/math]
è la funzione troncata sul periodo, cioè [math]f_t(t) = f(t)[/math]
se [math]t \in [0, T][/math]
, e [math]f_t(t) = 0[/math]
altrimenti.
Teorema del valore finale
Se
[math]\lim_{t \to +\infty} f(t)[/math]
e [math]\lim_{s \to 0} s F(s)[/math]
esistono finiti, allora
[math]\lim_{t \to +\infty} f(t) = \lim_{s \to 0} s F(s)[/math]
Tavola delle principali trasformate di Laplace
| Funzione | Trasformata |
|
[math]\delta(t)[/math] (delta di Dirac) |
[math]1[/math] |
[math]H(t) = \egin{cases} 1 & \quad \text{se } t \ge 0 \\ 0 & \quad \text{se } t (funzione di Heaviside) |
[math]\frac{1}{s}[/math] |
|
[math]t \cdot H(t)[/math] (rampa unitaria) |
[math]\frac{1}{s^2}[/math] |
|
[math]H(t-a)[/math] (funzione di Heaviside traslata) |
[math]\frac{1}{s} e^{-as}[/math] |
|
[math]e^{at} H(t)[/math] |
[math]\frac{1}{s-a}[/math] |
|
[math]t^n \cdot H(t)[/math]
|
[math]\frac{n!}{s^{n+1}}[/math] |
|
[math]>br>
oot{n}{t} \cdot H(t)[/math] |
[math]s^{-(1 + \frac{1}{n})} \Gamma(1 + \frac{1}{n})[/math] ([math]\Gamma[/math] indica la Gamma di Eulero) |
|
[math]\frac{t^{n-1}}{(n-1)!} e^{at} H(t)[/math] (esponenziale polinomiale) |
[math]\frac{1}{(s-a)^n}[/math] |
|
[math]\\sin(\omega t) H(t)[/math] |
[math]\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}[/math] |
|
[math]\\cos(\omega t) H(t)[/math] |
[math]\frac{s}{s^" + \omega^2}[/math] |
|
[math]\\sinh(\omega t) H(t)[/math] |
[math]\frac{\omega}{s^2 - \omega^2}[/math] |
|
[math]\\cosh(\omega t) H(t)[/math] |
[math]\frac{s}{s^2 - \omega^2}[/math] |
|
[math]ln(t)[/math] |
[math]-\frac{ln(s) + \gamma}{s}[/math] , dove [math]\gamma[/math] è la costante di Eulero-Mascheroni |
|
[math]\frac{1}{\omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}} e^{-\zeta \omega_n t} \\sin{\omega_n \sqrt{1 - \zeta^2} t} H(t)[/math] |
[math]\frac{1}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}[/math] (fattore trinomio) |
|
[math]e^{-at} \\cos(\omega t) H(t)[/math] |
[math]\frac{s+a}{(s+a)^2 + \omega^2}[/math] |
|
[math]e^{-at} \\sin(\omega t) H(t)[/math] |
[math]\frac{\omega}{(s+a)^2 + \omega^2}[/math] |
|
[math]J_n(t)[/math] (funzione di Bessel di prima specie) |
[math]\frac{(s + \sqrt{s^2 + 1})^{-n}}{s^2 + 1}[/math] |
|
[math]I_n(t)[/math] (funzione di Bessel modificata di prima specie) |
[math]\frac{(s + \sqrt{s^2 - 1})^{-n}}{s^2 - 1}[/math] |
Antitrasformata di Laplace
Se
[math]F(s)[/math]
è una trasformata di Laplace con regione di convergenza [math]\Omega[/math]
, allora la sua antitrasformata vale
[math]f(t) = \lim_{\beta \to +\infty} \frac{1}{2 \\pi i} \int_{\alpha - i \beta}^{\alpha + i \beta} F(s) e^{s t} ds[/math]
dove la retta verticale
[math]s = \alpha + i \beta[/math]
nel piano complesso è interna alla regione di convergenza [math]\Omega[/math]
.
Antitrasformata di Laplace di funzioni razionali
Data una trasformata di Laplace razionale della forma
[math]F(s) = \frac{\beta_{n-1} s^{n-1} + \ldots + \beta_1 s + \beta_0}{s^n + \alpha_{n-1} s^{n-1} + \ldots + \alpha_1 s + \alpha_0}[/math]
, dove gli [math]\alpha_i[/math]
e [math]\beta_i[/math]
sono coefficienti reali, per calcolare la rispettiva antitrasformata si possono seguire i seguenti passi
1) Per prima cosa si fattorizza il denominatore, mediante il calcolo delle sue radici, e si scrive la trasformata in questa forma
[math]F(s) = \frac{\beta_{n-1} s^{n-1} + \ldots + \beta_1 s + \beta_0}{prod_{j=1}^{r} (s - p_j)^{q_j} \cdot prod_{j=r+1}^{c} (s - p_j)^{q_j} (s - \bar{p}_j)^{q_j}}[/math]
dove
-
[math]p_j[/math]
, con [math]j = 1, 2, \ldots, r[/math]
sono le radici reali del denominatore -
[math]p_j = \sigma_j + i \omega_j[/math]
, con [math]j = r+1, r+2, \ldots, c[/math]
e [math]\omega_j > 0[/math]
sono radici complesse del denominatore -
[math]\bar{p}_j[/math]
, [math]j = r+1, r+2, \ldots, c[/math]
sono le radici del denominatore complesse coniugate di [math]p_j[/math]
-
[math]q_j[/math]
, [math]j = 1, 2, \ldots, c[/math]
, sono le molteplicità algebriche delle radici 2) Fatto questo si scompone la
[math]F(s)[/math]
in fratti semplici, in questo modo
[math]F(s) = \sum_{j=1}^{r} \sum_{h=1}^{q_j} \frac{R_{jh}}{(s - p_j)^h} + \sum_{j=r+1}^c \sum_{h=1}^{q_j} (\frac{R_{jh}}{(s - p_j)^h} + \frac{\bar{R}_{jh}}{(s - \bar{p}_j)^h})[/math]
dove
[math]R_{jh}[/math]
è il residuo dato da
[math]R_{jh} = \lim_{s \to p_j} \frac{1}{(q_j - h)!} \frac{d^{q_j - h}}{ds^{q_j - h}} ((s - p_j)^{q_j} F(s))[/math]
per ogni
[math]j = 1, 2, \ldots, c[/math]
e per ogni [math]h = 1, 2, \ldots, q_j[/math]
3) Per ultima cosa si antitrasforma
[math]F(s)[/math]
usando le trasformate e le proprietà notevoli
[math]f(t) = \egin{cases} \sum_{j=1}^{r} \sum_{h=1}^{q_j} R_{jh} \frac{t^{h-1}}{(h-1)!} e^{p_j t} + \sum_{j=r+1}^c \sum_{h=1}^{q_j} (R_{jh} \frac{t^{h-1}}{(h-1)!} e^{p_j t} + \bar{R}_{jh} \frac{t^{h-1}}{(h-1)!} e^{\bar{p}_j t} & \quad \text{se } t \ge 0 \\ 0 & \quad \text{se } t
e osservando che
[math]e^{i x} + e^{- i x} = 2 \\cos(x)[/math]
, [math]\forall x \in \mathbb{R}[/math]
, l'antitrasformata può essere scritta come
[math]f(t) = \egin{cases} \sum_{j=1}^{r} \sum_{h=1}^{q_j} R_{jh} \frac{t^{h-1}}{(h-1)!} e^{p_j t} + \sum_{j=r+1}^c \sum_{h=1}^{q_j} 2 M_{jh} \frac{t^{h-1}}{(h-1)!} e^{\sigma_j t} \\cos(\omega_j t + \theta_{jh} & \quad \text{se } t \ge 0 \\ 0 & \quad \text{se } t
dove
[math]\sigma_j[/math]
è la parte reale di [math]p_j[/math]
, [math]\omega_j[/math]
è la parte immaginaria di [math]p_j[/math]
, [math]M_{jh}[/math]
è il modulo di [math]R_{jh}[/math]
, [math]\theta_{jh}[/math]
è la fase di [math]R_{jh}[/math]
.
Esempio: antitrasformare la funzione
[math]F(s) = \frac{1}{(s+1)(s-2)}[/math]
. La funzione [math]F[/math]
è razionale, e si può scomporre in fratti semplici come [math]F(s) = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s-2}[/math]
, dove
[math]A = \lim_{s \to -1} (s+1) \frac{1}{(s+1)(s-2)} = - \frac{1}{3} qquad B = \lim_{s \to 2} (s - 2) \frac{1}{(s+1)(s-2)} = \frac{1}{3}[/math]
quindi
[math]F(s) = -\frac{1}{3} \frac{1}{s+1} + \frac{1}{3} \frac{1}{s-2}[/math]
, e sfruttando la tavola delle trasformate notevoli e la linearità della trasformata di Laplace si trova
[math]f(t) = - \frac{1}{3} e^{-t} H(t) + \frac{1}{3} e^{2t} H(t)[/math]
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