Studio di funzioni usando le derivate

Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it

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Studio di funzioni usando le derivate

Si supponga che f(x) sia derivabile in un intervallo aperto contenente il numero a e che noi possiamo calcolare f''(a). Se f'(a) = 0 e f''(a)<0, allora f ha un massimo locale in a. Se f'(a) = 0 e f''(a)>0, allora f ha un minimo locale in a.

0 10 5 0 5 10

Mentre la derivata prima di una funzione dà informazioni su come varia la funzione, la derivata seconda dà informazioni su come cambia la derivata prima. Le due derivate insieme sono strumenti molto utili per tracciare il grafico delle funzioni.

Abbiamo però bisogno di altre definizioni:

Una funzione f la cui derivata prima è crescente in tutto un intervallo è detta concava verso l'alto in quello intervallo.

Una funzione f la cui derivata prima è decrescente in tutto un intervallo è detta concava verso il basso in quello intervallo.

Se tracciate una retta tangente in un punto in cui il grafico è concavo verso l'alto, la tangente rimane sotto la curva; dove il grafico è concavo verso il basso, la tangente si colloca sopra la curva.

Sia f(x) una funzione continua in un intervallo ]a , b[ e c un punto interno all’intervallo. Se f(x) è concava verso l'alto (rispettivamente verso il basso) per a<x<c e concava verso il basso (rispettivamente verso l'alto) per c < x < b si dice che f(x) ha un punto di flesso in (c,f(c)).

Una tangente tracciata in un punto di flesso passa attraverso la curva:

50

0

50 2 1 0 1 2 3 4 5

curva f(x)

punto di flesso

tangente nel punto di flesso 1