Studi di Funzioni Razionali fratte

2 Dominio della funzione

]-∞;0[ ⋃ ]0;∞[

oppure

 = -{0}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0 5 3 5

3 +

-

0

-1

-2

-3 0 2 4 6

-2

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

3 5 ; 0 3 5 ; 0

   

- +

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 4

lim 6 y 6 x asintoto obliquo

-x - + = ∞ ⇒ = -

x

x→-∞ 4 6 x 0

lim asintoto verticale

-x - + = ∞ ⇒ =

x

x→0 - 4 6 x 0

lim asintoto verticale

-x - + = -∞ ⇒ =

x

x→0 + 4 6 y 6

lim x asintoto obliquo

-x - + = -∞ ⇒ = -

x

x→∞

Asintoti

y 6 x

= -

x 0

=

Studio della continuitá

** **

Punti di discontinuitá 4

x lim 6

Discontinuitá di II specie

=0 -x - + = ∞

1 x

x→0 - 4

lim 6

-x - + = -∞

x

x→0 +

f( 0 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

2) 2)

(x - (x +

y (1) (x)=- 2

x

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0 2

-∞ -2 ∞

-1 2

-

x ⨯

2

x ⨯

2

+

x ↘ ︶ ↗ ↗ ︵ ↘

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

; 10 Minimo relativo

( -2 ) →

2 ; 2 Massimo relativo

( ) →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

; 10 Minimo relativo

( -2 ) →

2 ; 2 Massimo relativo

( ) →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

4

f 1

1

( ) (x) = -

2

x 8

f 2

( ) (x) = - 3

x

Passaggi per determinare i punti stazionari

x y 0 y 1

(1) (2)

= -2 ( -2 ) = ( -2 ) =

1 2 y 2 0 y 2

x (1) (2)

= ( ) = ( ) = -1

2

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

8

y (2) (x)=- 3

x

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

0

-∞ ∞

-8 ⨯

3

x ︶ ︵

Lo studio del segno della derivata seconda non restituisce punti di flesso

**********

Se lo studio del segno della derivata seconda é stato restituito in forma semplificata

é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti di flesso

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 20

10 2 4

-4 -2 -10

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 10

8

6

4

2 2 4 6

-2

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1

10

8

6

4

2 2 4 6

-2

Tempo di elaborazione: 1.1382106 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione:

9

y 1

x

= + -

x

Generalitá sulla funzione

** **

Funzione ne pari ne dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

0

x ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;0[ ⋃ ]0;∞[

oppure

 = -{0}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0

0

-1

-2

-3 0 1 2

-2 -1

Non ci sono intersezioni con gli assi cartesiani

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 9

lim 1 y 1

x x asintoto obliquo

+ - = -∞ ⇒ = -

x

x→-∞ 9 1 x 0

lim x asintoto verticale

+ - = -∞ ⇒ =

x

x→0 - 9 1 x 0

lim x asintoto verticale

+ - = ∞ ⇒ =

x

x→0 + 9 1 y 1

lim x x asintoto obliquo

+ - = ∞ ⇒ = -

x

x→∞

Asintoti

y 1

x

= -

x 0

=

Studio della continuitá

** **

Punti di discontinuitá 9

x lim 1

Discontinuitá di II specie x

=0 + - = -∞

1 x

x→0 - 9

lim 1

x + - = ∞

x

x→0 +

f( 0 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

3) 3)

(x - (x +

y (1) (x)= 2

x

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0 3

-∞ -3 ∞

3

-

x ⨯

2

x ⨯

3

+

x ↗ ︵ ↘ ↘ ︶ ↗

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

; Massimo relativo

( -3 -7 ) →

3 ; 5 Minimo relativo

( ) →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

; Massimo relativo

( -3 -7 ) →

3 ; 5 Minimo relativo

( ) →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

9

f 1

1

( ) (x) = - 2

x

18

f 2

( ) (x) = 3

x

Passaggi per determinare i punti stazionari 23

x y 0 y

(1) (2)

= -3 ( -3 ) = ( -3 ) = -

1 2

x 3 y 3 0 y 3

(1) (2)

= ( ) = ( ) =

2 3

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

18

y (2) (x)= 3

x

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

0

-∞ ∞

⨯

18 ⨯

3

x ︵ ︶

Lo studio del segno della derivata seconda non restituisce punti di flesso

**********

Se lo studio del segno della derivata seconda é stato restituito in forma semplificata

é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti di flesso

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 20

10 2 4

-4 -2 -10

-20

-30

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 6

4

2 2 4

-4 -2 -2

-4

-6

-8

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 6

4

2 2 4

-4 -2 -2

-4

-6

Creato da Roberto Caria per skuola.net

10 -8

Tempo di elaborazione: 0.9904019 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione:

1

y x

= + x

Generalitá sulla funzione

** **

Funzione ne pari ne dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

0

x ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;0[ ⋃ ]0;∞[

oppure

 = -{0}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0

0

-1

-2

-3 0 1 2

-2 -1

Non ci sono intersezioni con gli assi cartesiani

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 1

lim y

x x asintoto obliquo

+ = -∞ ⇒ =

x

x→-∞ 1 x 0

lim x asintoto verticale

+ = -∞ ⇒ =

x

x→0 - 1 x 0

lim x asintoto verticale

+ = ∞ ⇒ =

x

x→0 + 1 y

lim x x asintoto obliquo

+ = ∞ ⇒ =

x

x→∞

Asintoti

y x

=

x 0

=

Studio della continuitá

** **

Punti di discontinuitá 1

x lim

Discontinuitá di II specie x

=0 + = -∞

1 x

x→0 - 1

lim x + = ∞

x

x→0 +

f( 0 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

1) 1)

(x - (x +

y (1) (x)= 2

x

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0 1

-∞ -1 ∞

1

-

x ⨯

2

x ⨯

1

+

x ↗ ︵ ↘ ↘ ︶ ↗

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

; Massimo relativo

( -1 -2 ) →

1 ; 2 Minimo relativo

( ) →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

; Massimo relativo

( -1 -2 ) →

1 ; 2 Minimo relativo

( ) →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

1

f 1

1

( ) (x) = - 2

x

2

f 2

( ) (x) = 3

x

Passaggi per determinare i punti stazionari

x y 0 y

(1) (2)

= -1 ( -1 ) = ( -1 ) = -2

1 1 y 1 0 y 1 2

x (1) (2)

= ( ) = ( ) =

2

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

2

y (2) (x)= 3

x

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

0

-∞ ∞

⨯

2 ⨯

3

x ︵ ︶

Lo studio del segno della derivata seconda non restituisce punti di flesso

**********

Se lo studio del segno della derivata seconda é stato restituito in forma semplificata

é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti di flesso

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 15

10

5 2 4

-4 -2 -5

-10

-15

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 3

2

1 1 2

-2 -1 -1

-2

-3

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1

Creato da Roberto Caria per skuola.net

10 3

2

1 1 2

-2 -1 -1

-2

-3

Creato da Roberto Caria per skuola.net 11

Tempo di elaborazione: 0.9168279 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione:

1

x -

y = 2

x

Generalitá sulla funzione

** **

Funzione ne pari ne dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

0

x ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;0[ ⋃ ]0;∞[

oppure

 = -{0}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0 1

0

-1

-2

-3 0 1 2 3

-2 -1

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

1 ; 0

( )

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti

lim 0 y 0

x-1 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x

x→-∞ x 0

lim x-1 asintoto verticale

= -∞ ⇒ =

2

x

x→0 - x 0

lim x-1 asintoto verticale

= -∞ ⇒ =

2

x

x→0 + 0 y 0

lim x-1 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x

x→∞

Asintoti

y 0

=

x 0

=

Studio della continuitá

** **

Punti di discontinuitá

x lim x-1

Discontinuitá di II specie

=0 = -∞

1 2

x

x→0 -

lim x-1 = -∞

2

x

x→0 +

f( 0 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

2

x -

y (1) (x)=- 3

x

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0 2

-∞ ∞

-1 2

-

x ⨯

3

x ↘ ↗ ︵ ↘

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

1

2 ; Massimo relativo

  →

4

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

1

2 ; Massimo relativo

  →

4

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

2-x

f 1

( ) (x) = 3

x

2

f (x-3)

2

( ) (x) = 4

x

Passaggi per determinare i punti stazionari 18

x 2 y 2 0 y 2

(1) (2)

= ( ) = ( ) = -

1

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

2 3)

(x -

y (2) (x)= 4

x

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

0 3

-∞ ∞

⨯

2 3

-

x ⨯

4

x ︵ ︵ ︶

⟷

Punti di flesso

2

3 ;

 

9

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

1

m = -

1 27

Tangenti nei punti di flesso

9-x

t y =

)

1 27

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 2 4

-4 -2 -1

-2

-3

-4

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio

1.0

0.5 1 2 3 4

-1 -0.5

-1.0

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1

1.0

0.5 1 2 3 4

-1 -0.5

-1.0

Tempo di elaborazione: 1.1255534 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione: 3

x

y =- 3 1

x -

Generalitá sulla funzione

** **

Funzione ne pari ne dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

3 1 0

x - ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;1[ ⋃ ]1;∞[

oppure

 = -{1}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0 1

0

-1

-2

-3 0 1 2 3

-2 -1

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

0 ; 0

( )

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 3

lim y

x asintoto orizzontale

- = -1 ⇒ = -1

3

x -1

x→-∞ 3 x 1

lim x asintoto verticale

- = ∞ ⇒ =

3

x -1

x→1 - 3 x 1

lim x asintoto verticale

- = -∞ ⇒ =

3

x -1

x→1 + 3 y

lim x asintoto orizzontale

- = -1 ⇒ = -1

3

x -1

x→∞

Asintoti

y = -1

x 1

=

Studio della continuitá

** **

Punti di discontinuitá 3

x lim x

Discontinuitá di II specie

=1 - = ∞

1 3

x -1

x→1 - 3

lim x

- = -∞

3

x -1

x→1 +

f( 1 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

2

3 x

y (1) (x)= 2

2 2

1) 1

x

(x - x + +

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0 1

-∞ ∞

⨯

3 ⨯

2

1)

(x - ⨯

2

x ⨯

2

2 1

x + +

x ↗ ≃ ↗ ↗

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

0 ; 0 Flesso a tangente orizzontale ascendente

( ) →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

0 ; 0 flesso a tangente orizzontale ascendente

( ) →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

2

3

f x

1

( ) (x) = 2

3

x -1 4

6 x

2 +x

f 2

( ) (x) = - 3

3

x -1

6 3

60

f x x

+96 +6

3

( ) (x) = 4

3

x -1

Passaggi per determinare i punti stazionari

x 0 y 0 0 y 0 0 y 0 6

(1) (2) (3)

= ( ) = ( ) = ( ) =

1

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

3

6 1

x x

2 +

y (2) (x)=- 3

3 2

1) 1

x

(x - x + +

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

1

- 0 1

-∞ -0.794 ∞

3 2

-6 ⨯

3

1)

(x - ⨯

x ⨯

3

2 1

x + +

x ⨯ ⨯

3

2 1

+

x ︶ ︵ ︶ ︵

⟷ ⟷

Punti di flesso

0 ; 0

( )

1 1

; -

-

 

3

3 2

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

m 0

=

1 3

2 2

m =

2 3

Tangenti nei punti di flesso

t y 0

=

)

1 13

y 2 1

t 3 x

= 2 +

)

2

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 0.5 2 4

-4 -2 -0.5

-1.0

-1.5

-2.0

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 1.0