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Svolgimenti Studi di Funzioni Esponenziali
Il file pdf contiene gli svolgimenti di tutti gli esercizi sullo studio di funzioni in cui sono presenti valori assoluti proposti dal libro di testo Matematica.blu 2.0 Vol. 5 (Bergamini, Trifone, Barozzi) per i Licei Scientifici.
Gli svolgimenti sono stati eseguiti dal software per la risoluzione on line di esercizi di matematica (Algebra, Geometria Analitica, Analisi)
Le funzioni presenti sono le seguenti:
f(x) = x^4 - 3 x^2 + 2\\
f(x) = x^3 - 12 x\\
f(x) = x^2 - x^3\\
f(x) = x^3 - 3 x + 2\\
f(x) = x^4 - 16 x^2\\
f(x) = x^4 - 5 x^2 + 4\\
f(x) = x^3/6 - x^2 + 3/2 x\\
f(x) = x^2 - 4 x^4\\
f(x) = x - 1/5 x^5\\
f(x) = -x^4 - x^2\\
f(x) = x (x^2 - 4)\\
f(x) = x^3 - 2 x^2 + x - 2\\
f(x) = x (x + 2)^2\\
f(x) = x^3 - 2 x + 1\\
f(x) = 2 x^3 - x^4\\
f(x) = (x^2 - 2 x)^2 + 1\\
f(x) = x^4 - 2 x^3 + 1\\
f(x) = 2 x^2 (x + 1)^3\\
f(x) = 3 x^4 + 2 x^3 - 3 x^2\\
f(x) = 7/4 x^4 - 14/3 x^3\\
f(x) = 3 x^4 + 4 x^3 + 1\\
f(x) = -x^3 + 5 x^2 - 8 x + 4\\
[/math]
Lo studio di funzione comprende i seguenti studi:
1) Studio del dominio compreso il grafico nel piano cartesiano con lo studio di segno della funzione (per uno svolgimento dettagliato si può utilizzare l'apposita funzione)
2) Limiti e asintoti
3) Punti di discontinuità (per uno svolgimento dettagliato si può utilizzare l'apposita funzione)
4) Studio del segno della derivata prima e crescenz, decrescenza e punti stazionati
5) Ricerca dei punti stazionari con il metodo delle derivate successive
Studio di segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso
Grafico della funzione
8 Grafico in dettaglio 15
10
5 2 4
-4 -2 -5
-10
-15
Creato da Roberto Caria per skuola.net 9
Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 15
10
5
Creato da Roberto Caria per skuola.net
10 2 4
-4 -2 -5
-10
Creato da Roberto Caria per skuola.net 11
-15
Tempo di elaborazione: 0.9519814 s
Creato da Roberto Caria per skuola.net 1
Studio della seguente funzione
** **
2 3
y x x
= -
La funzione si semplifica nel seguente modo:
2
y 1) x
= -(x -
Studio della seguente funzione:
2 3
y x x
= -
Generalitá sulla funzione
** **
Funzione ne pari ne dispari
Dominio
** **
Non ci sono condizioni da applicare per il calcolo del dominio
Creato da Roberto Caria per skuola.net
2 Dominio della funzione
oppure
= x∈
∀
Grafico del dominio e dello studio del segno
3
2
1 0 1
0
-1
-2
-3 0 1 2 3
-2 -1
Intersezioni con gli assi cartesiani
** **
0 ; 0 1 ; 0
( ) ( )
Creato da Roberto Caria per skuola.net 3
Limiti e asintoti
** **
Limiti
2 3
lim x x
- = ∞
x→-∞ 2 3
lim x x
- = -∞
x→∞
La funzione non ammette asintoti
Studio della continuitá
** **
La funzione é continua in tutto il suo dominio
Creato da Roberto Caria per skuola.net
4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá
** **
y 2)
(1) x
(x)=-x (3 -
Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari
2
0
-∞ ∞
3
-1
x
3 2
-
x ↘ ︶ ↗ ︵ ↘
Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima
0 ; 0 Minimo relativo
( ) →
23 4
; Massimo relativo
→
27
Creato da Roberto Caria per skuola.net 5
Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive
0 ; 0 Minimo relativo
( ) →
23 4
; Massimo relativo
→
27
Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari
f 3
1
( ) x) x
(x) = (2 -
f 2 6
2
( ) x
(x) = -
Passaggi per determinare i punti stazionari
x 0 y 0 0 y 0 2
(1) (2)
= ( ) = ( ) =
1 23 2
2
x y 0 y
(1) (2)
= = = -2
2 3
3
La funzione non ha punti di non derivabilitá
Creato da Roberto Caria per skuola.net
6 Derivata seconda e punti di flesso
** **
y 1)
(2) x
(x)=-2 (3 -
Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso
1
-∞ ∞
3
-2
3 1
-
x ︶ ︵
⟷
Punti di flesso
1 2
;
3 27
Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso
1
m =
1 3
Tangenti nei punti di flesso
1
t y 1)
x
= (9 -
)
1 27
Creato da Roberto Caria per skuola.net 7
Grafici della funzione
** **
Grafico panoramico 150
100
50 2 4
-4 -2 -50
-100
Creato da Roberto Caria per skuola.net
8 Grafico in dettaglio 1.0
0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-1.0 -0.5 -0.5
-1.0
Creato da Roberto Caria per skuola.net 9
Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1
1.0
0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-1.0 -0.5 -0.5
-1.0
Tempo di elaborazione: 0.8398651 s
Creato da Roberto Caria per skuola.net 1
Studio della seguente funzione:
3
y 3 2
x x
= - +
Generalitá sulla funzione
** **
Funzione ne pari ne dispari
Dominio
** **
Non ci sono condizioni da applicare per il calcolo del dominio
Creato da Roberto Caria per skuola.net
2 Dominio della funzione
oppure
= x∈
∀
Grafico del dominio e dello studio del segno
3
2
1 1
-2
0
-1
-2
-3 0 1 2 3
-4 -3 -2 -1
Intersezioni con gli assi cartesiani
** **
0 ; 2 ; 0 1 ; 0
( ) ( -2 ) ( )
Creato da Roberto Caria per skuola.net 3
Limiti e asintoti
** **
Limiti
3
lim 3 2
x x
- + = -∞
x→-∞ 3 3 2
lim x x
- + = ∞
x→∞
La funzione non ammette asintoti
Studio della continuitá
** **
La funzione é continua in tutto il suo dominio
Creato da Roberto Caria per skuola.net
4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá
** **
y 1) 1)
(1) (x)=3 (x - (x +
Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari
1
-∞ -1 ∞
3 1
-
x 1
+
x ↗ ︵ ↘ ︶ ↗
Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima
; 4 Massimo relativo
( -1 ) →
1 ; 0 Minimo relativo
( ) →
Creato da Roberto Caria per skuola.net 5
Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive
; 4 Massimo relativo
( -1 ) →
1 ; 0 Minimo relativo
( ) →
Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari
2
f 3 1
1
( ) (x) = x -
f 6
2
( ) x
(x) =
Passaggi per determinare i punti stazionari
x y 0 y
(1) (2)
= -1 ( -1 ) = ( -1 ) = -6
1 1 y 1 0 y 1 6
x (1) (2)
= ( ) = ( ) =
2
La funzione non ha punti di non derivabilitá
Creato da Roberto Caria per skuola.net
6 Derivata seconda e punti di flesso
** **
y (2) x
(x)=6
Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso
0
-∞ ∞
6
x ︵ ︶
⟷
Punti di flesso
0 ; 2
( )
Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso
m = -3
1
Tangenti nei punti di flesso
t y 2 3 x
= -
)
1
Creato da Roberto Caria per skuola.net 7
Grafici della funzione
** **
Grafico panoramico 100
50 2 4
-4 -2 -50
-100
Creato da Roberto Caria per skuola.net
8 Grafico in dettaglio 5
4
3
2
1 1 2
-3 -2 -1 -1
Creato da Roberto Caria per skuola.net 9
Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 5
4
3
2
1 1 2
-3 -2 -1 -1
Tempo di elaborazione: 0.8209978 s
Creato da Roberto Caria per skuola.net 1
Studio della seguente funzione
** **
4 2
y 16
x x
= -
La funzione si semplifica nel seguente modo:
2 2
y 16
x
= x -
Studio della seguente funzione:
4 2
y 16
x x
= -
Generalitá sulla funzione
** **
Funzione pari
Dominio
** **
Non ci sono condizioni da applicare per il calcolo del dominio
Creato da Roberto Caria per skuola.net
2 Dominio della funzione
oppure
= x∈
∀
Grafico del dominio e dello studio del segno
3
2
1 4
-4
0
-1
-2
-3 0 2 4 6
-6 -4 -2
Intersezioni con gli assi cartesiani
** **
0 ; 0 ; 0 4 ; 0
( ) ( -4 ) ( )
Creato da Roberto Caria per skuola.net 3
Limiti e asintoti
** **
Limiti
4 2
lim 16
x x
- = ∞
x→-∞ 4 2
16
lim x x
- = ∞
x→∞
La funzione non ammette asintoti
Studio della continuitá
** **
La funzione é continua in tutto il suo dominio
Creato da Roberto Caria per skuola.net
4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá
** **
2
y 8
(1) x
(x)=4 x -
Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari
0
-∞ ∞
2 2 2
-2
4
x 2 8
-
x ↘ ︶ ↗ ︵ ↘ ︶ ↗
Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima
2 ; Minimo relativo
-64
-2 →
0 ; 0 Massimo relativo
( ) →
2 ;
2 Minimo relativo
-64 →
Creato da Roberto Caria per skuola.net 5
Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive
0 ; 0 Massimo relativo
( ) →
2 ; Minimo relativo
-64
-2 →
2 ;
2 Minimo relativo
-64 →
Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari
2
f 4 8
1
( ) x
(x) = x -
2
4 8
f 2
( ) x
(x) = 3 -
Passaggi per determinare i punti stazionari
x 0 y 0 0 y 0
(1) (2)
= ( ) = ( ) = -32
1
x 0 y 64
2 y (1) (2)
2 2
= =
= -2
-2 -2
2
x 0 y 64
2 2 y (1) (2)
2 2
2 2
= =
=
3
La funzione non ha punti di non derivabilitá
Creato da Roberto Caria per skuola.net
6 Derivata seconda e punti di flesso
** **
2
y 8
(2) x
(x)=4 3 -
Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso
2 2
2
-∞ ∞
-2 3 3
4 2
3 8
-
x ︶ ︵ ︶
⟷ ⟷
Punti di flesso
2 320
;
-2 -
3 9
2 320
;
2
-
3 9
Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso
2
128 3
m = -
1 3
2
128 3
m =
2 3
Tangenti nei punti di flesso
64
t y 6 3
x
= - 2 -
)
1 9
64
t y 6 3
x
= 2 +
)
2 9
Creato da Roberto Caria per skuola.net 7
Grafici della funzione
** **
Grafico panoramico 100
50 2 4
-4 -2 -50
Creato da Roberto Caria per skuola.net
8 Grafico in dettaglio 2 4
-4 -2 -10
-20
-30
-40
-50
-60
Tempo di elaborazione: 1.0600299 s
Creato da Roberto Caria per skuola.net 1
Studio della seguente funzione:
4 2
y 5 4
x x
= - +
Generalitá sulla funzione
** **
Funzione pari
Dominio
** **
Non ci sono condizioni da applicare per il calcolo del dominio
Creato da Roberto Caria per skuola.net
2 Dominio della funzione
oppure
= x∈
∀
Grafico del dominio e dello studio del segno
3
2
1 1 2
-2 -1
0
-1
-2
-3 0 2 4
-4 -2
Intersezioni con gli assi cartesiani
** **
0 ; 4 ; 0 ; 0 1 ; 0 2 ; 0
( ) ( -2 ) ( -1 ) ( ) ( )
Creato da Roberto Caria per skuola.net 3
Limiti e asintoti
** **
Limiti
4 2
lim 5 4
x x
- + = ∞
x→-∞ 4 2
5 4
lim x x
- + = ∞
x→∞
La funzione non ammette asintoti
Studio della continuitá
** **
La funzione é continua in tutto il suo dominio
Creato da Roberto Caria per skuola.net
4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá
** **
2
y 5
(1) x x
(x)=2 2 -
Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari
5 5
0
-∞ ∞
- 2 2
2
x 2
2 5
-
x ↘ ︶ ↗ ︵ ↘ ︶ ↗
Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima
5 94
; Minimo relativo
- - →
2
0 ; 4 Massimo relativo
( ) →
5 94
; Minimo relativo
- →
2
Creato da Roberto Caria per skuola.net 5
Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive
0 ; 4 Massimo relativo
( ) →
5 94
; Minimo relativo
- - →
2
5 94
; Minimo relativo
- →
2
Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari
2
f 2 5
1
( ) x x
(x) = 2 -
2
2 5
f 2
( ) x
(x) = 6 -
Passaggi per determinare i punti stazionari
x 0 y 0 0 y 0
(1) (2)
= ( ) = ( ) = -10
1 5 5 5
x y 0 y 20
(1) (2)
= - = =
- -
2 2 2 2
5 5 5
y 0 y 20
x (1) (2)
= = =
3 2 2 2
La funzione non ha punti di non derivabilitá
Creato da Roberto Caria per skuola.net
6 Derivata seconda e punti di flesso
** **
2
y 5
(2) x
(x)=2 6 -
Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso
5 5
-∞ ∞
- 6 6
2 2
6 5
-
x ︶ ︵ ︶
⟷ ⟷
Punti di flesso
5 19
;
- 6 36
5 19
;
6 36
Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso
10
10 3
m = -
1 3
10
10 3
m =
2 3
Tangenti nei punti di flesso
1
t y 40 30 x
= 219 -
)
1 36
1
t y 30 219
x
= 40 +
)
2 36
Creato da Roberto Caria per skuola.net 7
Grafici della funzione
** **
Grafico panoramico 500
400
300
200
100 2 4
-4 -2
Creato da Roberto Caria per skuola.net
8 Grafico in dettaglio 4
2 1 2 3
-3 -2 -1 -2
Creato da Roberto Caria per skuola.net 9
Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 4
2 1 2 3
-3 -2 -1 -2
Tempo di elaborazione: 1.1442440 s
Creato da Roberto Caria per skuola.net 1
Studio della seguente funzione
** **
3 3
x x
2
y x
= +
- 2
6
La funzione si semplifica nel seguente modo:
1 2
y 3) x
= (x -
6
Studio della seguente funzione:
3 3
x x
2
y x
-
= +
6 2
Generalitá sulla funzione
** **
Funzione ne pari ne dispari
Dominio
** **
Non ci sono condizioni da applicare per il calcolo del dominio
Creato da Roberto Caria per skuola.net
2 Dominio della funzione
oppure
= x∈
∀
Grafico del dominio e dello studio del segno
3
2
1 0 3
0
-1
-2
-3 0 1 2 3 4 5
-2 -1
Intersezioni con gli assi cartesiani
** **
0 ; 0 3 ; 0
( ) ( )
Creato da Roberto Caria per skuola.net 3
Limiti e asintoti
** **
Limiti
3 3
2
lim x x
x
- + = -∞
2
6
x→-∞ 3 3
2
lim x x
x
- + = ∞
2
6
x→∞
La funzione non ammette asintoti
Studio della continuitá
** **
La funzione é continua in tutto il suo dominio
Creato da Roberto Caria per skuola.net
4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá
** **
1 3) 1)
y (1) (x - (x -
(x)= 2
Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari
1 3
-∞ ∞
1
2 3
-
x 1
-
x ↗ ︵ ↘ ︶ ↗
Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima
23
1 ; Massimo relativo
→
3 ; 0 Minimo relativo
( ) →
Creato da Roberto Caria per skuola.net 5
Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive
23
1 ; Massimo relativo
→
3 ; 0 Minimo relativo
( ) →
Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari
1 2
f 4 3
1
( ) x
(x) = x - +
2
f 2
2
( ) x
(x) = -
Passaggi per determinare i punti stazionari
x 1 y 1 0 y 1
(1) (2)
= ( ) = ( ) = -1
1 3 y 3 0 y 3 1
x (1) (2)
= ( ) = ( ) =
2
La funzione non ha punti di non derivabilitá
Creato da Roberto Caria per skuola.net
6 Derivata seconda e punti di flesso
** **
y 2
(2) (x)=x -
Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso
2
-∞ ∞
2
-
x ︵ ︶
⟷
Punti di flesso
1
2 ;
3
Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso
12
m = -
1
Tangenti nei punti di flesso
1
t y 3 x)
= (8 -
)
1 6
Creato da Roberto Caria per skuola.net 7
Grafici della funzione
** **
Grafico panoramico 2 4
-4 -2 -10
-20
-30
-40
-50
Creato da Roberto Caria per skuola.net
8 Grafico in dettaglio
1.5
1.0
0.5 1 2 3 4
-1 -0.5
-1.0
Creato da Roberto Caria per skuola.net 9
Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1
1.5
1.0
0.5 1 2 3 4
-1 -0.5
-1.0
Tempo di elaborazione: 0.7816093 s
Creato da Roberto Caria per skuola.net 1
Studio della seguente funzione:
2 4
y 4
x x
= -
Generalitá sulla funzione
** **
Funzione pari
Dominio
** **
Non ci sono condizioni da applicare per il calcolo del dominio
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