In questo appunto verranno approfondite le serie numeriche. Queste serie non sono altro che la versione discreta degli integrali; in effetti gli integrali non sono altro che somme infinite di una funzione valutata in un punto per una lunghezza infinitesima di un intervallo. Ecco, le serie sono come gli integrali, ma la lunghezza dell'intervallo è fissata a 1.
Si indicano con il simbolo seguente:
[math] \displaystyle \sum_{n=n_0}^{+ \infty} a_n [/math]
[math] n_0 [/math]
è il numero da cui la somma "parte", mentre [math] a_n [/math]
è una successione di numeri.Tali serie, pur trattandosi di somme infinite, possono anche avere valore finito.
Vediamo ora nel dettaglio in maniera più approfondita questo concetto.
Serie convergenti
Una serie si dice convergente se essa assume valore finito. In altre parole, una serie è convergente se esiste finito il limite:[math] \displaystyle \lim_{k \to +\infty} \sum_{n=n_0}^{k} a_n [/math]
Una cosa importante da ricordare è la seguente: una condizione necessaria ma non sufficiente affinché una serie converga è che:
[math] \lim_{n \to +\infty} a_n = 0 [/math]
Esempio: La serie armonica:
[math] \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k} = 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \dots + [/math]
[math] \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots + [/math]
[math] \frac{\pi^2}{6} [/math]
, la cui dimostrazione non è però banale e richiede elementi di analisi funzionale.
Serie divergenti
Una serie si dice divergente se essa assume valore infinito. Cioè se vale:[math] \displaystyle \lim_{k \to +\infty} \sum_{n=n_0}^{k} a_n = \pm \infty [/math]
Inoltre se
[math] a_n = K [/math]
con [math] K \neq 0 [/math]
costante reale, allora la serie associata a tale successione diverge. Questo perché sommare una quantità non nulla (e costante) infinite volte equivale a divergere.
Serie geometriche
Le serie geometriche sono un esempio molto comune di serie numeriche. Sono caratterizzate da una successione in cui il rapporto tra due termini consecutivi è costante.Ad esempio:
[math] a_1 = 2, a_2 = 4, a_3 = 8, \dots \ \ , \ \ b_1 = \frac{1}{3}, b_2 = \frac{1}{9}, b_3 = \frac{1}{27}[/math]
La serie geometrica ad esse associata è la somma infinita di tutti gli
[math] a_i [/math]
oppure [math] b_i [/math]
.Il rapporto tra il termine
[math] k+1 [/math]
e il termine [math] k [/math]
è detto ragione e si indica con [math] r [/math]
.Si può osservare quindi che la ragione di
[math] a_n [/math]
è 2, la ragione di [math] b_n [/math]
è [math] \frac{1}{3} [/math]
.Si può dimostrare che una serie geometrica diverge se e solo se
[math] |r| > 1 [/math]
.Quindi la serie
[math] \sum a_n [/math]
diverge, mentre la serie [math] \sum b_n [/math]
converge.Per ulteriori dettagli sulle serie geometriche si invita a guardare il PDF sottostante.
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