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Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it

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Successioni e serie

Convergenza delle serie infinite

La somma di una serie infinita a1 + a2 + a3 + … talvolta può divergere, tendendo all'infinito positivo o negativo, o può oscillare senza stabilizzarsi.

Se la successione delle somme parziali si avvicina sempre di più al limite il numero finito, si dice che la serie converge a l.

Se una serie converge allora resta verificata la seguente condizione:

a

lim 0

n

∞

n

I termini della successione devono tendere a 0.

Questa condizione è necessaria, ma non sufficiente affinché una serie converga.

a1r2

Affinché una serie geometrica a1 + a1r + + … converga, deve verificarsi la seguente condizione:

r < 1

Questa è una condizione necessaria e sufficiente per la convergenza di una serie geometrica.

Prendiamo in considerazione tre serie infinite. Rappresentiamo graficamente le prime 10 somme parziali di ciascuna e cerchiamo di prevedere se le serie oscillano, convergono o divergono.

Serie 1

– 1 + 2 – 4 + 8 – 16 + …

Questa è una serie geometrica di ragione r = –2.

Primo termine:

s1 1

Ragione: 400

2

r 1 200

x

Rappresentazione grafica delle prime 10 somme parziali: n

n 1 .. 10 0

n

1 r

.

x s 1

n 1 r 200 0 5 10

n

, le somme parziali divergono in valore assoluto, alternando valori positivi e valori negativi.

Poiché | r | > 1, la serie non converge. Al crescere di n

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Sintesi

Nel seguente appunto vengono approfondite alcune note serie convergenti.

Serie convergenti

Partiamo dalla definizione: una serie si dice convergente se la successione delle somme parziali ammette limite finito. Le somme parziali sono le successioni arrestate al termine

[math]n-[/math]
esimo.

Ad esempio, data la serie:

[math] \sum_{n=0}^{\infty} \left ( \frac12 \right )^n [/math]

La successione delle somme parziali è data da:

[math] S_1 = 1, S_2 = 1 + \frac12 = \frac32, S_3 = 1 + \frac12 + \frac14 = \frac74, \dots [/math]

Un'osservazione empirica è che questa successione si avvicina sempre più a 2, in effetti questa serie è convergente.

Serie geometriche

In generale la serie:

[math] \sum_{n = 0}^{\infty} r^n [/math]

converge a

[math] \frac{1}{1-r} [/math]
quando
[math] |r| < 1 [/math]
.

Vediamo una dimostrazione di questo fatto:

Chiamiamo

[math] S [/math]
la quantità:

[math] S_n:= 1 + r + r^2 + r^3 + \dots + r^n [/math]

Allora, si ha che la quantità

[math] rS [/math]
è data da
[math] S [/math]
con tutti gli esponenti "shiftati" di un'unità. In effetti:

[math] rS_n = r + r^2 + r^3 + \dots + r^{n+1} [/math]

Se facciamo la differenza tra le due quantità notiamo che tutti gli esponenti "intermedi" vanno via, cancellandosi a vicenda.

[math] S_n - rS_n = (1-r)S_n = \frac{1-r^{n+1}}{1-r} [/math]

Passando al limite per

[math] n \to \infty [/math]
(ovvero, per calcolare la serie infinita), sfruttando il fatto che la base è in modulo minore di
[math] 1 [/math]
(ovvero: il fattore di "crescita" è minore di 1) si ottiene che
[math] r^{n+1} \to 0 [/math]
.

Pertanto si ha che:

[math] \lim_{n \to + \infty} S_n = \sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{ 1 - 0}{1-r} = \frac{1}{1-r} [/math]

La formula

[math] \frac{1-r^{n+1}}{1-r} [/math]
può tuttavia essere utilizzata per calcolare le somme parziali, nel caso in cui si dovesse rendere necessario calcolare delle serie geometriche (arrestate ad un certo punto) di ragione
[math] |r| \ge 1 [/math]
(a patto che
[math] r \neq \pm 1 [/math]
).

Quello che è importante ricordare, però, è che in questo caso la serie infinita non converge.

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