Questo appunto si propone di fornire alcuni concetti base relativi alle serie infinite. Per fare ciò, bisogna prima esplorare alcuni concetti base, a partire dalle successioni.
Successioni
Una successione è un insieme di numeri indicizzati da numeri naturali. Può quindi essere vista, se si vuole, come una funzione da[math] \mathbb{N} [/math]
a [math] \mathbb{R} [/math]
(o eventualmente insieme dei numeri complessi).Si indicano di solito con la notazione seguente:
[math] \{a_n\} [/math]
.Ad esempio la successione dei numeri pari:
[math] a_1 = 2, a_2 = 4, a_3 = 6, \dots [/math]
[math] n-[/math]
esimo è il [math]n-[/math]
esimo numero pari.
Somme parziali
Una somma parziale, data una successione, è data dalla somma dei primi[math] k [/math]
termini di una successione data.Prendendo come esempio la successione di prima, si può definire:
[math] S_1 = a_1, S_2 = a_1 + a_2, S_3 = a_1 + a_2 + a_3, \dots [/math]
Quindi anche l'insieme delle somme parziali rappresenta una successione! Però essa "deriva" da
[math] a_n [/math]
.
Serie infinita
Data una successione, e data la successione delle sue somme parziali, la somma infinita è data dal limite, per[math] n \to \infty [/math]
della successione delle somme parziali.In formule:
[math] S = \lim _{x \to \infty} S_n [/math]
Se questo limite esiste, ma è infinito, diremo che la serie diverge.
Altrimenti, se il limite non esiste, diremo che la serie è indeterminata.
Vediamo un esempio per ciascuna delle tre casistiche.
Esempi
- Data la successione [math] a_n = \left ( \frac{1}{2} \right )^n [/math]la serie infinita associata a tale successione viene detta serie geometrica. In generale una serie infinita in cui il rapporto tra due termini successivi vale[math] r [/math]vale[math] \frac{1}{1-r} [/math]a patto che[math] |r| > 1 [/math].
- Data la successione [math] a_n = 1 [/math], è abbastanza immediato notare che sommare[math] 1 [/math]infinite volte porta ad avere una quantità senza limite. Pertanto in questo caso la serie infinita diverge.
- Consideriamo la successione [math] a_n = (-1)^n [/math], in questo caso si ha che la successione vale 1 sui pari e -1 sui dispari. Pertanto, dato che le somme parziali oscillano continuamente tra[math] 1 [/math]e[math] 0 [/math], la serie è indeterminata perché la successione delle serie parziali è oscillante (non ammette limite).
https://www.skuola.net/materiale/staticfiles/teoria/analisi_superiori/23-serie.pdf
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