Proprietà dei determinanti

Proprietà

 
Osservazione 1. Il calcolo di un determinante, per quanto in teoria sia semplice, può poi in pratica risultare lungo e complesso, specie quando le matrici esaminate sono di ordine alto e hanno pochi zeri. A questo proposito si ricorre spesso ad un certo numero di proprietà sui determinanti, che consentono di ridurre il problema ad uno più semplice.

Proprietà 1. Se una delle linee di

è composta solo da zeri, allora .

Proprietà 2. Se

è una matrice diagonale o triangolare, allora .

Proprietà 3. Data una matrice

, se è ottenuta da moltiplicando per uno stesso scalare tutti gli elementi di una linea, allora .

Proprietà 4. Se le matrici

, e hanno tutti gli elementi uguali esclusi al più quelli della linea -esima, per la quale vale che , allora .

Proprietà 5. Se due linee della matrice

sono proporzionali secondo un qualsiasi scalare , allora .

Proprietà 6. Se a una linea di

si somma una qualsiasi combinazione lineare delle linee di ad essa parallele, il determinante non cambia.

Proprietà 7. Se una linea di

è combinazione lineare di due o più linee di ad essa parallele, allora .

Proprietà 8. Se

si ottiene da scambiando due linee parallele, allora .

Teorema di Binet.

.

Osservazione 2. La proprietà 1 è un caso particolare sia della 3 che della 5, corrispondente in ambo i casi a

.

Osservazione 3. La proprietà 2 implica, tra le altre cose, che il determinante di una matrice identica è sempre 1, indipendentemente dal suo ordine.

Osservazione 4. Nel caso particolare che risulti

, la proprietà 5 dice che una matrice con due linee uguali ha il determinante nullo.

Osservazione 5. La proprietà 7 discende direttamente dalla 6: infatti se la linea

si scrive come combinazione lineare di una o più linee di ciò è vero anche per ; in virtù di ciò, il determinante di deve rimanere invariato quando ad si sommi , ovvero quando la linea -esima sia tutta nulla. Questo, per la proprietà 1, significa che .

Esempi numerici

 
Osservazione 6. Le dimostrazioni inerenti le matrici sono tipicamente lunghe e gravose, e poco aggiungono alla comprensione delle proprietà esaminate. In questa sede si ritiene più opportuno esaminare invece degli esempi applicativi.

Esempio 1. Calcolare il determinante di
\[
A=\begin{pmatrix}
7 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 \\
3 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\]
Grazie alla proprietà 1, possiamo direttamente dire che

senza necessità di usare la regola di Sarrus: infatti, la seconda colonna è composta interamente da zeri. Per essere più convinti che ciò sia vero, possiamo provare ad usare la regola dei triangoli: ci rendiamo così subito conto che in ognuno dei fattori da considerare c’è almeno uno 0, e che quindi il determinante è nullo.

Esempio 2. Calcolare il determinante di
\[
A=\begin{pmatrix}
3 & 4 & 2 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 9
\end{pmatrix}
\]
La matrice adesso in esame non ha nessuna linea composta solo da zeri, e quindi la prima proprietà non si può applicare; d’altro canto possiamo utilizzare tanto la seconda quanto la quinta. Nel primo caso, notiamo che

è superiormente triangolare e che quindi sarà ; nel secondo caso possiamo invece osservare che la terza riga si ricava dalla seconda moltiplicando per tutti i suoi elementi, e quindi concludere ancora che .

Esempio 3. Calcolare il determinante di
\[
C=\begin{pmatrix}
6 & 2 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 4 & 8
\end{pmatrix}
\]
In questo caso possiamo definire due nuove matrici
\[
A=\begin{pmatrix}
6 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 8
\end{pmatrix}
\]
e
\[
B=\begin{pmatrix}
6 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 8
\end{pmatrix}
\]
Notiamo che tutti gli elementi di

, e che non si trovino sulla seconda colonna coincidono, e che inoltre la seconda colonna di , sommata a quella di , dà quella di . Ci troviamo perciò nel caso della proprietà 4, e . Il risultato è stato semplice da ottenere grazie alle proprietà 1 e 2, che si applicano a ed rispettivamente.

Esempio 4. Calcolare il determinante di
\[
A=\begin{pmatrix}
3 & 0 & 8 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 4 & 4
\end{pmatrix}
\]
Applichiamo, a titolo d’esempio, la proprietà 6. Sommiamo alla prima riga di

quella combinazione lineare che si ottiene dalle altre due righe moltiplicando la seconda per 7 e la terza per 2:
\[
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 8
\end{pmatrix} + 7 \begin{pmatrix}
0 & -1 & 0
\end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix}
0 & 4 & 4
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
3 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]
In virtù allora della succitata proprietà,
\[
\det A = \det \begin{pmatrix}
3 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 4 & 4
\end{pmatrix}
\]
Adoperiamo adesso la proprietà 3: la matrice si ottiene dall’ultima scritta moltiplicando per tutti gli elementi dell’ultima colonna, dunque
\[
\begin{aligned}
B &= \begin{pmatrix}
3 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 4 & 8
\end{pmatrix}, \\
\det A &= \det \begin{pmatrix}
3 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 4 & 4
\end{pmatrix} = \frac{1}{2} \det \begin{pmatrix}
3 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 4 & 8
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
Applicando nuovamente la proprietà 3, ma stavolta sulla prima riga, ci riportiamo infine a una matrice, la , di cui conosciamo già il determinante perché l’abbiamo calcolato nell’esempio precedente. Concludiamo in tal modo che
\[
\begin{aligned}
C &= \begin{pmatrix}
6 & 2 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 4 & 8
\end{pmatrix}, \\
\det A &= \frac{1}{2} \det \begin{pmatrix}
3 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 4 & 8
\end{pmatrix} = \frac{1}{4} \det C = \frac{-48}{4} = -12
\end{aligned}
\]