Numeri naturali e principio di induzione

Luca Lussardi Appunti di Analisi I

Numeri naturali; principio di induzione

Il primo insieme non banale che potrebbe essere costruito direttamente a partire dalla teoria assiomatica degli insiemi è l’insieme dei numeri naturali, ovvero dei numeri 0, 1, 2, 3, . . . .

In questa sede si darà un’impostazione assiomatica alla definizione dell’insieme seguendo l’idea del matematico italiano G. Peano.

Peano introdusse cinque assiomi, che oggi portano il suo nome, e che costituiscono una definizione assiomatica rigorosa dell’insieme dei numeri naturali.

Gli assiomi di Peano

I numeri naturali si susseguono in ordine uno dopo l’altro a partire dal numero zero, denotato con 0; come primo assioma va quindi chiesto che 0 sia un numero naturale:

∈

(A1): 0 N.

Va a questo punto detto che dal numero 0 si passa ai numeri successivi:

(A2): Per ogni numero naturale n esiste un unico numero naturale s(n) detto successivo di n.

Vanno poi chiarite le proprietà fondamentali che questa operazione di successivo possiede; anzitutto il numero 0 è il primo della lista, per cui non è successivo di nessun numero:

∈ 6

(A3): Per ogni n si ha s(n) = 0.

N

Inoltre, ogni numero naturale che non sia 0 proviene da un solo numero naturale mediante l’operazione di successivo; per cui va chiesto che:

∈

(A4): Se n, m con s(n) = s(m), allora si ha n = m.

N

Infine vi è l’ultimo assioma che chiude la definizione; non è infatti chiaro, sulla base degli assiomi precedenti, se questa operazione di successivo iterata fornisca o no tutti i numeri naturali o se ne rimanga qualcuno escluso.

Il quinto ed ultimo assioma fornisce una risposta a questa domanda e afferma proprio che iterando, a partire dallo 0, l’operazione di successivo, si ottengono tutti i numeri naturali:

⊆ ∈ ∈ ∈

(A5): Supponiamo che A e che si abbia 0 A e n A =⇒ s(n) A; allora risulta A =

N N.

I cinque assiomi di Peano costituiscono una possibile definizione rigorosa dei numeri naturali, che quindi rimangono oggetti non definiti; sono però definite le loro proprietà, e questo, il più delle volte, basta per la matematica.

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