Numeri interi (ebook)

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Numeri interi

Una panoramica sui numeri

più semplici e di uso più comune

di

Stefano Borgogni

Copertina: Torcedor solitario di Rodrigo Moraes

https://www.flickr.com/photos/digomoraes/716138129

Matematicamente.it srl

ISBN: 9788896354858

Questo libro è rilasciato con licenza

Creative Commons BY ND

http://creativecommons.org/licenses/by-nd/3.0/it/legalcode

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Indice

Introduzione..................................................................................................................... pag. 3

1 - Curiose tipologie di numeri primi .............................................................................. pag. 5

2 - Successioni e famiglie di numeri interi...................................................................... pag. 13

3 - Numeri figurati........................................................................................................... pag. 30

4 - Funzioni sui numeri interi .......................................................................................... pag. 41

5 - Disposizioni infinite di numeri .................................................................................. pag. 50

6 - Quadrati e altre figure magiche ................................................................................. pag. 59

7 - Basi numeriche non decimali .................................................................................... pag. 78

Conclusioni ..................................................................................................................... pag. 87

Bibliografia e sitografia .................................................................................................. pag. 89

Citazioni: matematici, filosofi, scienziati ....................................................................... pag. 91

Citazioni: tipologie, successioni, famiglie di numeri...................................................... pag. 93

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Introduzione

“La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica” (C.F. Gauss)

“Dio ha creato i numeri interi, tutto il resto è opera dell'uomo” (L. Kronecker)

Proponiamo un semplice esperimento: chiedete a qualcuno di pensare un numero e scriverlo su un foglio. Potrà essere 1, 3, 10 o magari un numero più grande come 313 - la targa dell’auto di Paperino - o 1990 (una data di nascita o di matrimonio), ma è estremamente improbabile che si tratti di 1/3, -3 oppure 2,53.

Insomma, potrete dire con ragionevole certezza che si tratta di un numero intero positivo.

Infatti, gli interi positivi - che utilizziamo per contare (ci sono 8 persone in una stanza) o per definire un ordinamento (Milano è la 2ª città d’Italia per numero di abitanti) - sono quelli che si usano maggiormente, se non esclusivamente, nella vita di tutti i giorni, tanto che si può dire che l’idea di numero sia associata “naturalmente” a quella di numero intero.

Senza soffermarsi sull’argomento, che meriterebbe un’assai più ampia trattazione, citiamo solo un esempio per segnalare quanto fosse forte tale identificazione fin dall’antichità, ricordando il trauma psicologico portato nella scuola pitagorica dalla scoperta dell’incommensurabilità tra la lunghezza del lato del quadrato e quella della sua diagonale, ossia dell’esistenza di quelli che

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oggi chiamiamo numeri irrazionali.

Prima di cominciare la trattazione, però, torniamo indietro di qualche riga, all’avverbio “naturalmente”, che offre lo spunto per chiarire subito una questione terminologica non trascurabile, almeno per chi è abituato al rigore matematico: numeri interi o numeri naturali?

Lo studio si occuperà - pur con qualche escursione nel regno del segno meno e “persino” nel campo frazionario - esclusivamente di interi positivi, ossia dell’insieme N dei numeri naturali.

Per evitare inutili complicazioni, però, anche se la dizione “naturali” sarebbe più precisa - conviene adeguarsi all’uso comune e parlare genericamente di “interi”, come fanno di norma tutti i testi che trattano l’argomento.

Dunque, questo studio intende trattare i numeri interi, cercando di esaminarli da diverse prospettive e di approfondirne alcune caratteristiche. I numeri potranno essere analizzati singolarmente, a coppie o gruppi, o ancora in sequenze infinite.

Si parlerà di diversi temi, esaminando in primo luogo varie tipologie di numeri primi, per poi proseguire con successioni e famiglie di interi, ivi comprese alcune configurazioni di numeri di tipo geometrico. Successivamente, si prenderanno in considerazione particolari funzioni che si applicano ai soli interi, per poi allargare il discorso a disposizioni infinite di numeri e a strutture numeriche in qualche modo “magiche”.

Infine, si concluderà lo studio esplorando brevemente il mondo dei numeri interi espressi in un sistema numerico diverso da quello decimale.

1 Può valere la pena di ricordare che l’aggettivo “irrazionale” niente ha a che vedere con un’eventuale irragionevolezza di tali numeri, ma deriva dal latino “ratio”, rapporto; dunque, gli irrazionali sono numeri non esprimibili mediante un rapporto tra interi. 3

In sostanza, come si evince dagli argomenti enunciati, il testo si colloca a cavallo tra la teoria dei numeri e l’area dei giochi matematici, tra la matematica pura e quella ricreativa.

I diversi temi possono apparire a prima vista slegati tra loro; di fatto, però le connessioni sono numerosissime e - come si potrà verificare nel corso della lettura - vi saranno costantemente intrecci e rimandi, talvolta inaspettati, tra un capitolo e l’altro.

Dunque, esiste una sorta di filo rosso che collega le varie parti. Non è, però, necessario leggere il testo in ordine sequenziale, come un normale libro; al contrario, si può saltare da un punto all’altro in base alla curiosità suscitata da un determinato tema. O, ancora, utilizzare questo studio come un dizionario, cercando di volta in volta lo specifico argomento che interessa; a questo scopo sono stati aggiunti in coda due elenchi che possono agevolare tali ricerche.

Va precisato che il testo non ha né la pretesa di essere esaustivo, né quella di fare qualche nuova scoperta significativa per il mondo matematico, affrontando un argomento sul quale - nel corso dei secoli - hanno detto e scritto schiere di matematici, ivi compresi i grandissimi come Eulero o Gauss. Né, d’altro canto, intende riproporre dati e formule facilmente reperibili in testi scolastici a diversi livelli di complessità.

Il suo scopo è, più semplicemente, quello di dare un contributo (si spera) originale, soprattutto per quanto riguarda l’approccio complessivo. Infatti, si intendono trattare i numeri interi citando solo en passant le loro caratteristiche più note, per concentrare l’attenzione su aspetti minori se non del tutto sconosciuti fuori dall’ambiente degli “addetti ai lavori”. Inoltre, si aggiungeranno - ove possibile - curiosità numeriche o giochi matematici, prendendo spunto dall’argomento trattato in quel momento.

In conclusione, non resta che augurare a tutti buona lettura e buona navigazione nel mare magnum dei numeri interi. 4

1 - Curiose tipologie di numeri primi

Un testo dedicato ai numeri interi non può che partire dai numeri primi, che costituiscono la base dell’intera teoria dei numeri e saranno, dunque, i protagonisti di questo capitolo iniziale.

A sottolineare la grande importanza dei numeri primi, per rappresentarli sono state utilizzate nel tempo varie metafore, spesso legate al concetto di “mattone”. Ossia, un prodotto molto semplice, apparentemente modesto, ma fondamentale nella costruzione di qualsiasi edificio.

Non a caso i Numeri Primi hanno attirato l’attenzione dei matematici fin dall’antichità e su di essi, nel corso dei secoli, si sono versati i proverbiali “fiumi di inchiostro”.

Ciononostante, rimane ancora tanto da scoprire. In particolare - com’è noto - è tuttora irrisolto il problema fondamentale, quello di scoprire una qualche regola in base alla quale i numeri primi si susseguono.

Non si tratterà, però, questo problema, né si affronterà qualcuna delle altre, numerose questioni insolute relative ai numeri primi, alle quali si sono dedicati i maggiori esperti di teoria dei numeri. In linea con l’orizzonte complessivo di questo testo che - come detto - intende percorrere sentieri poco battuti, si cercherà di portare l’attenzione su alcune curiose e poco conosciute tipologie di numeri primi.

Per maggiore chiarezza, il capitolo è suddiviso in due parti: la prima riguarda i numeri primi presi singolarmente; la seconda li considera congiuntamente: a coppie, a terne o a gruppi di 4.

1.1 - Numeri primi presi singolarmente

In primo luogo, presentiamo una tabella riepilogativa che descrive le svariate tipologie di numeri primi prese in esame nel prosieguo del capitolo. Ci soffermeremo, in particolare, sulle cifre che compongono i numeri stessi.

Per evitare di ripetere più volte le stesse avvertenze, precisiamo fin d’ora che - salvo indicazione diversa - nella trattazione saranno ignorati i numeri primi minori di 10.

Tipologie di numeri primi

Nome Descrizione Esempio Primi numeri (> 10) della sequenza

Additivi La somma delle cifre dà un numero primo 47 11-23-29-41-43-47-61-67-83-89-101-113

Disparissimi Hanno tutte le cifre dispari 97 11-13-17-19-31-37-53-59-71-73-79-97-113

Imirp Invertendo le cifre danno un altro primo 149 11-13-17-31-37-71-73-79-97-101-107-113

Palindromi Invertendo le cifre danno lo stesso numero 101 11-101-131-151-181-191-313-353-373-383

Permutabili Tutti i possibili “anagrammi” sono primi 113 11-13-17-31-37-71-73-79-97-113-131-199

Monocifra Sono formati da una sola cifra ripetuta 11 11-19 cifre “1”-23 cifre “1”-317 cifre “1”

Numeri primi additivi

Cominciamo questa carrellata con i Numeri Primi Additivi, ossia numeri tali che la somma delle loro cifre è ancora un numero primo, come 47 (4+7=11).

La successione dei primi additivi inizia con: 11, 23, 29, 41, 43, 47, 61, 67, 83, 89.

In primo luogo, si nota che - a parte il caso particolare di numeri composti solo da due cifre “1”, come 101 - la somma delle cifre deve essere necessariamente un numero dispari. Da ciò si può

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senz'altro stabilire che, se sono composti da un numero di cifre pari - devono comprendere al loro interno almeno una cifra pari. Facciamo un paio di esempi: 29 (somma 11) o 1.093 (somma 13).

Al contrario, i primi additivi con numero di cifre dispari devono avere un numero pari di cifre pari (ad esempio 12.347 che ne ha 2) oppure essere formati esclusivamente da cifre dispari, come i numeri che stiamo per esaminare.

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Numeri primi "disparissimi"

Passiamo, dunque, ai Numeri Primi Disparissimi, ossia numeri formati soltanto da cifre dispari.

I primi dieci disparissimi sono i seguenti: 11, 13, 17, 19, 31, 37, 53, 59, 71, 73.

Dalla definizione stessa si può dedurre che questo insieme presenta intervalli di decine di numeri - poi di centinaia, poi di migliaia e così via - nei quali non si potrà trovare alcun numero primo; ad esempio, tra 20 e 30 (10 unità), tra 400 e 500 (100 unità) etc.

Inoltre, in relazione ai primi additivi visti poc’anzi, è evidente che nel caso di numeri con un numero di cifre pari, le due tipologie sono alternative: se un primo è additivo non potrà essere disparissimo e viceversa.

Un percorso a imbuto

Vi sono, però, altre tipologie di primi che appaiono senz’altro più interessanti per gli sviluppi che possono produrre.

In particolare, ne esamineremo alcune che delineano un percorso di successive selezioni, dal generale al particolare, attraverso il quale si restringe sempre più la quantità di “oggetti” considerati, fino ad ottenere dei numeri estremamente rarefatti nell’universo degli interi.

Questa sorta di imbuto comprende, nella sua parte più larga, i numeri primi Imirp; seguono poi i primi permutabili e i primi palindromi e, infine, il percorso si conclude con i primi monocifra.

Le definizioni appena viste saranno meglio spiegate nei singoli paragrafi.

Numeri primi "Imirp"

I Numeri Primi Imirp traggono il loro strano nome semplicemente dalla parola “Primi” letta al

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contrario. Si tratta, come si può intuire, di numeri che rimangono primi se si leggono le loro cifre in ordine inverso: un esempio è il numero 37, dato che anche 73 è primo.

La sequenza dei primi Imirp inizia con: 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 101.

Ovviamente, i numeri di questa tipologia non possono iniziare né con un numero pari, né con 5, per cui al di sotto di 100 si trova una striscia di 30 numeri (almeno) priva di Imirp, mentre al di sotto di 1.000 tale striscia è costituita da non meno di 300 unità.

In generale, possiamo dire che nell'insieme dei numeri interi vi sono infiniti intervalli “Imirp free” di dimensione crescente pari a 3×10^k (con k maggiore o uguale a 2).

I numeri primi Imirp sono infiniti? Si ipotizza di sì, ma la questione è tuttora irrisolta. Per non essere troppo ripetitivi, anticipiamo che ciò vale anche per le tipologie che saranno trattate successivamente.

2 Traduciamo così il termine inglese “Oddest” con cui questi numeri sono normalmente conosciuti.

3 Nella letteratura specializzata questi numeri - secondo la dizione inglese - sono chiamati “Emirp”; nella nostra traduzione utilizziamo il plurale anziché il singolare. 6

Numeri primi palindromi

Restringiamo ora il campo a un sottoinsieme degli Imirp, considerando i Numeri Primi Palindromi, ossia i numeri che rimangono identici anche invertendo l’ordine delle cifre che li compongono. Esempi: 11, 181 e 797.

I primi dieci primi palindromi sono 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383.

Ovviamente, le condizioni affinché un numero primo sia palindromo sono assai più restrittive rispetto agli Imirp visti in precedenza; la limitazione più significativa è che i primi palindromi non possono avere un numero pari di cifre, poiché in tal caso sarebbero divisibili per 11.

Dunque, in questo caso le strisce numeriche prive di tali tipi di primi sono molto più ampie di quanto visto nel paragrafo precedente: vanno, infatti, eliminati tutti i numeri di 4 cifre (da 1.000 a 9.999, ossia 9.000 unità), quelli di 6 cifre (900.000 unità) e così via.

In generale, possiamo osservare infiniti intervalli senza primi palindromi di dimensioni pari - almeno - a 9×10^2k (con k maggiore o uguale a 2).

Numeri primi permutabili

A partire dagli Imirp si può costruire anche un altro sottoinsieme (non disgiunto da quello dei primi palindromi): si tratta dei Numeri Primi Permutabili, ovvero quei numeri per i quali sono primi anche i numeri ottenibili con tutte le possibili permutazioni. In altre parole, numeri che restano primi comunque vengano “anagrammate” le loro cifre: ad esempio, 199, 919 e 991.

La sequenza dei primi permutabili comincia con: 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113.

E' evidente come tale vincolo diventi sempre più stringente con l’aumentare delle cifre e, di conseguenza, delle possibili permutazioni: fino a 100 i primi permutabili coincidono con gli Imirp, poi - salendo a 3 cifre - calano sensibilmente di numero.

Si potrebbe pensare che questa tendenza continui e, dunque, i primi permutabili oltre 1.000 siano rari, ma non rarissimi. Invece, sorprendentemente - una volta superata questa soglia - per trovare il successivo numero appartenente al gruppo si deve salire addirittura fino a 19 cifre!

Scopriremo tra poco quale sia esattamente questo numero…

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Numeri primi monocifra

Infine, a conclusione di questo processo di selezioni successive, arriviamo all’ultimo stadio: i Numeri Primi Monocifra, numeri costituiti da una sola cifra ripetuta n volte.

L’unica cifra accettabile per comporre tali numeri è “1”; per esempio, 77.777 non va bene perché si nota immediatamente che è il prodotto tra 7 e 11.111. Ma c’è di più: detto M_n il numero composto da n cifre “1”, è facile dimostrare che se n è divisibile per k, allora M_n è divisibile per M_k. Ad esempio, il numero M₁₅ è divisibile per M₅:

111.111.111.111.111 = 11.111×10.000.100.001.

Dunque, affinché un numero monocifra sia primo è necessario che sia primo anche il suo numero di cifre “1”, mentre non vale il viceversa: ad esempio, 111 (3×37) e 11.111 (41×271) sono entrambi composti.

Riportiamo l’elenco dei numeri primi monocifra più piccoli (si fa per dire) indicando, però, non i numeri nella loro interezza - che sono di dimensioni tali da risultare illeggibili - bensì il

4 Anche in questo caso, si possono trovare riferimenti a tali numeri utilizzando la dicitura inglese, che è “Rep-unit”.

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numero di cifre “1” che li compongono. Con questa avvertenza, la sequenza è la seguente: 2, 19, 23, 317, 1.031, 49.081, 86.453, 109.297...

Come si vede, adesso i paletti sono veramente molto stretti, tanto che - dopo 11 - il successivo primo monocifra è quello formato da 19 cifre “1”.

Ed ecco svelato il piccolo “mistero” del paragrafo precedente: il primo numero primo permutabile maggiore di 1.000 è esattamente il numero con 19 “1” appena visto. Ma non basta: da qui in poi pare estremamente probabile (anche se non è stato ancora provato) che la sequenza dei primi permutabili e quella dei primi monocifra siano esattamente coincidenti.