Nozioni di topologia in R

Luca Lussardi Appunti di Analisi I

Nozioni di topologia in R

Intervalli

I principali sottoinsiemi di R, molto importanti per lo studio della struttura topologica di R stesso, sono gli intervalli. Si denota con

(a, b) = {x ∈ R: a < x < b}, (a, b] = {x ∈ R: a < x ≤ b}.

[a, b) = {x ∈ R: a ≤ x < b}, [a, b] = {x ∈ R: a ≤ x ≤ b}.

Gli intervalli della forma (a, b) vengono anche detti aperti, mentre gli intervalli della forma [a, b] vengono anche detti chiusi; nei casi restanti l’intervallo non è né aperto né chiuso.

Una generalizzazione che coinvolge l’uso del simbolo dell’infinito si ha ponendo le seguenti definizioni:

(a, +∞) = {x ∈ R: x > a}, (−∞, a) = {x ∈ R: x < a}.

Chiaramente definizioni analoghe valgono per gli intervalli della forma [a, +∞), (−∞, a].

∞

Poiché non è un numero reale, non ha invece senso, in R, considerare intervalli della forma

[−∞, a), [−∞, a], (a, +∞], [a, +∞].

Intorni; punti aderenti, di accumulazione e isolati

Sia dato x ∈ R. Si dice che I è un intorno di x se esiste δ > 0 tale per cui si abbia

(x − δ, x + δ) ⊆ I.

I è quindi intorno di x se E contiene tutti i punti sufficientemente vicini ad x.

Dato E ⊆ R, si dice che x è punto aderente ad E se per ogni intorno I di x si ha I ∩ E ≠ ∅.

La nozione di aderenza risulta inadeguata allo scopo di selezionare quei punti x che sono vicini ai punti di E. Sia dato E ⊆ R. Si dice che x ∈ E è un punto isolato per E se esiste un intorno I di x tale per cui si abbia

(I \ {x}) ∩ E = ∅.

Se x è punto aderente ad un insieme E ma non è isolato si dice anche che x è punto di accumulazione per E; dunque si ha che x è di accumulazione per E se e solo se per ogni I intorno di x si ha

(I \ {x}) ∩ E ≠ ∅.

In altre parole x è di accumulazione per E se x è aderente ad E ⊆ R \ {x}.

Si osservi che la definizione di punto aderente o di accumulazione per un insieme E non presuppone che il punto appartenga ad E, cosa che invece si richiede per la definizione di punto isolato.

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