Massimi e minimi vincolati

Appunti di Analisi II

Massimi e minimi vincolati

In problemi di massimo e minimo vincolato viene richiesto di ricercare massimi e minimi di una funzione non definita su tutto Rⁿ, ma su un suo sottoinsieme proprio.

Esempio: calcolare massimo e minimo della funzione f : A → R : (x, y) → x² + 3y, con

A = {(x, y) ∈ R² : x²/4 + y²/9 ≤ 1}

Il dominio in questo caso è un’ellisse con semiassi di lunghezza 2 e 3. Dato che A è chiuso e limitato, e quindi compatto, e che f è continua, allora le ipotesi del Teorema di Weierstrass sono soddisfatte, pertanto il problema ha soluzione. I punti di massimo e minimo assoluti possono appartenere o all’interno di A o alla frontiera di A.

I punti di massimo e minimo che possono appartenere all’interno di A vanno ricercati fra i punti che annullano il gradiente, e dato che f ∈ C¹(A) le ipotesi del Teorema di Fermat sono rispettate. I restanti punti possono essere vincolati sulla frontiera di A.

Il gradiente di f vale ∇f(x, y) = (2x, 3), e non si annulla mai, pertanto non ci sono punti critici nell’interno di A.

Resta ora da studiare cosa succede sulla frontiera di A, che coincide con l’insieme

∂A = {(x, y) ∈ R² : x²/4 + y²/9 = 1}

La frontiera di A può essere parametrizzata così come segue:

x = 2 cos(θ), θ ∈ [0, 2π]

y = 3 sin(θ)

Quindi la funzione lungo la frontiera di A vale

f(x(θ), y(θ)) = 4 cos²(θ) + 3 sin(θ)

In questo modo è stata ottenuta una funzione di una variabile. I massimi e minimi si trovano azzerando la derivata prima e guardando cosa succede agli estremi dell’intervallo in cui è definito θ, ovvero cosa succede per θ = 0 e θ = 2π. La derivata prima vale

f′(2 cos(θ), 3 cos(θ)) = −8 cos(θ) sin(θ) + 9 cos(θ)

La derivata si azzera solo se cos(θ) = 0, ovvero se θ = π/2 oppure θ = 3π/2. Studiando il segno della derivata prima si vede che in θ = π/2, a cui corrisponde il punto (0, 3), c’è un massimo, mentre in θ = 3π/2, a cui corrisponde il punto (0, −3), c’è un minimo. Inoltre, a θ = 0 oppure θ = 2π corrisponde il punto (2, 0).

Calcoliamo ora i valori che la funzione assume in questi punti:

f(2, 0) = 4

f(0, 3) = 9

f(0, −3) = −9

Il valore più grande è il massimo assoluto della f in A, il valore più piccolo è il minimo assoluto.

Come detto la f è continua in A e ammette massimo e minimo assoluto, dato che il dominio è connesso per archi, per il Teorema dei valori intermedi, l’immagine di f è un intervallo, precisamente f(A) = [−9, 9].

Ovvero la funzione assume tutti i valori compresi fra il minimo assoluto e il massimo assoluto, estremi compresi.

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Problemi di max/min vincolato

Data una funzione f : A → R, con A ⊂ Rⁿ, se f è continua in A e A è compatto allora ha massimo e minimo assoluto in A per il Teorema di Weierstrass.

In tal caso si devono trovare tutti i punti x^* ∈ A tali che

f(x^*) = max_A f

e tutti i punti x^* ∈ A tali che

f(x^*) = min_A f

Il Teorema di Fermat dà solo una parziale risposta a questo quesito.