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Integrale definito secondo Rieman

Sia

[math]f[/math]
una generica funzione reale definita in un intervallo
[math][a,b][/math]
chiuso e limitato, e sia
[math]P[/math]
l’insieme di
[math]n + 1[/math]
punti distinti dell’intervallo
[math][a,b][/math]
, cioè dei valori
[math]x_n \in [a,b][/math]
con
[math]n \in \textbf{N}[/math]
.
Tali punti individuano una serie di partizioni dell’intervallo
[math][a,b][/math]
della forma
[math][x_{k-1},x_k][/math]
con
[math]k = 1, 2, …, n[/math]
, per ognuna delle quali (essendo la funzione
[math]f[/math]
continua) esistono un minimo
[math]m_k[/math]
ed un massimo
[math]M_k[/math]
.
Si definisce somma integrale inferiore la sommatoria seguente:

[math]s(P) = \sum_{k=1}^{n} m_k (x_k – x_{k-1})[/math]

Si definisce somma integrale superiore la sommatoria seguente:

[math]S(P) = \sum_{k=1}^{n} M_k (x_k – x_{k-1})[/math]

Se esiste un unico elemento di separazione delle somme integrali superiore e inferiore al convergere dell’una verso l’altra, la funzione

[math]f[/math]
è integrabile secondo Riemann nell’intervallo
[math][a,b][/math]
.
In questo caso, l’elemento di separazione delle sommatorie si dice integrale definito della funzione
[math]f[/math]
in
[math][a,b][/math]
e si denota:


[math]\int_{a}^{b} f(x) dx[/math]

NOTA: le funzioni continue e le funzioni monotòne appartengono alla classe delle funzioni integrabili secondo Riemann.

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