Funzioni a valori vettoriali

Gianni Sammito Appunti di Analisi II

Funzioni a valori vettoriali

Una funzione a valori vettoriali è una funzione che ha come codominio l’insieme R^m, m ∈ N\{0}, o comunque un suo sottoinsieme non vuoto.

Nel caso in cui m = 1, la funzione considerata è scalare a valori reali, pertanto si nota che le funzioni scalari sono solo un caso particolare delle funzioni a valori vettoriali.

Il gradiente come funzione a valori vettoriali

Un esempio di funzione a valori vettoriali è il gradiente. Si consideri un insieme aperto A ⊂ Rⁿ, e sia f : A → R una funzione di classe C¹ di A, ovvero f ∈ C¹(A).

In ogni punto del dominio le derivate prime di f sono continue, pertanto è differenziabile, dunque, preso x ∈ A, risulta

∇f(x) = (∂f/∂x₁(x), …, ∂f/∂x_n(x)).

Dunque il gradiente è a tutti gli effetti una funzione a valori vettoriali così definita

∇f : A → Rⁿ : x ↦ (∂f/∂x₁(x), …, ∂f/∂x_n(x)).

Coordinate geografiche

Un altro esempio di funzione a valori vettoriali si può trovare nel considerare le coordinate geografiche. Fissato R ∈ R⁺, si consideri l’insieme A = {(x, y, z) ∈ R³ : x² + y² + z² = R²}, ovvero l’insieme dei punti sulla superficie di una sfera di raggio R centrata nell’origine.

Latitudine e longitudine

Figura 1: Latitudine e longitudine

Conoscendo la latitudine θ ∈ [−π/2, π/2] e la longitudine φ ∈ [−π, π] di un generico punto P sulla superficie della sfera A, è possibile risalire alle coordinate cartesiane (x, y, z) mediante questa trasformazione

x = R cos(θ) cos(φ)

y = R cos(θ) sin(φ)

z = R sin(θ)

Questa trasformazione ha come dominio un sottoinsieme di R², a cui è associata la coppia (φ, θ), e come codominio R³, a cui è associata la terna (x, y, z), quindi questa trasformazione è una funzione a valori vettoriali così definita

F : [−π, π] × [−π/2, π/2] → R³ : (φ, θ) ↦ (R cos(θ) cos(φ), R cos(θ) sin(φ), R sin(θ)).

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