EQUAZIONI NON ELEMENTARI

Con il termine "equazioni non elementari" ci si riferisce alle equazioni di terzo e quarto grado.

L'italiano Scipione del Ferro fu il primo a trovare una "ricetta aritmetica" che conducesse alla determinazione delle tre radici di una equazione di terzo grado.
Successivamente le teorie di Tartaglia, elaborate poi anche da altri algebristi, condussero ad una "semplice" espressione che assume forme del tipo:

[math]x_{1}=-\frac{b}{3a}-\\
\\
-\frac{1}{3a} \sqrt[3]{\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d+\sqrt{(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}{2}}\\
\\
-\frac{1}{3a} \sqrt[3]{\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d-\sqrt{(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}{2}}[/math]


[math]x_{2}=-\frac{b}{3a}+\\
\\
+\frac{1+i\sqrt{3}}{6a} \sqrt[3]{\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d+\sqrt{(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}{2}}\\
\\
+\frac{1-i\sqrt{3}}{6a} \sqrt[3]{\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d-\sqrt{(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}{2}[/math]

[math]x_{3}=-\frac{b}{3a}+\\
\\
+\frac{1-i\sqrt{3}}{6a} \sqrt[3]{\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d+\sqrt{(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}{2}}\\
\\
+\frac{1+i\sqrt{3}}{6a} \sqrt[3]{\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d-\sqrt{(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}{2}[/math]


per le tre radici di

[math]P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d[/math]
.

Naturalmente, Del Ferro non scrisse la formula proprio così (in alcuni termini compare il simbolo

[math]i[/math]
, che si riferisce all'unità immaginaria dei numeri complessi, molto lontani dall'universo culturale di Del Ferro), ma usò un'espressione più elementare, e limitata ad un'equazione di terzo grado di una forma particolare, che però è facile da "ritradurre" in modo da essere adeguata alle attuali conoscenze matematiche.

L'impresa di Del Ferro impallidisce davanti alla formula per la soluzione dell'equazione di quarto grado:

[math]ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0[/math]

La "ricetta aritmetica" per trovare le quattro possibili soluzioni è infatti davvero complessa; il matematico Ferrari apportò delle modifiche alla formula originaria, sostituendo le incognite ed introducendo

[math]X= x-\frac{b}{4a}[/math]
, sostituzione che, dopo aver opportunamente svolto i calcoli, permette di eliminare il termine di terzo grado dall'equazione e arrivare alla soluzione.

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