Derivata della funzione composta

Oggi daremo un'occhiata a come si derivano le funzioni composte e ci occuperemo in particolare della cosiddetta chain rule, la regola della catena. L'idea è che la derivata di una funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione esterna, avente come argomento la funzione interna, e la derivata della funzione interna. Quindi se

e sono due funzioni, allora la derivata di:

Per inciso, vi faccio notare che questo simbolo

, è un modo alternativo di indicare la derivata, quindi quando scrivete state dicendo la derivata della funzione .

Quando uno la vede la prima volta, questa regola può sembrare piuttosto complicata, perché infatti bisogna fare il prodotto tra la derivata di una funzione calcolata in un'altra funzione e poi moltiplicare il tutto per un'altra derivata, quindi sembra una cosa un pochino complessa da fare. In realtà vi garantisco che è molto semplice e per convincervi di questo, consideriamo un primo esempio:

Proviamo a calcolare la derivata di:

E vedete che in questo caso siamo difronte ad una funzione composta perché abbiamo la funzione

, in un certo senso, contenuta all'interno della funzione . E quindi in riferimento alla formula che abbiamo visto prima, è come se:

Proviamo a calcolarci la derivata applicando la regola, che cosa dobbiamo fare? La regola ci dice di prendere la derivata della funzione esterna, e quindi per noi la derivata del seno è il coseno, avente però come argomento la funzione interna, quindi come argomento gli mettiamo la nostra

cioè e tutto ciò lo dobbiamo moltiplicare per la funzione interna, quindi per la derivata di cioè . Quindi:

Vedete quindi che, facendo riferimento alla formula generale:

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rappresenta

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rappresenta

Proviamo adesso a calcolarci la derivata di:

In questo caso, la funzione che gioca il ruolo di esterna, quindi quella che nella formula avevamo chiamato

sarebbe il logaritmo naturale di , mentre la funzione interna, quindi quella che gioca il ruolo di argomento della funzione , sarebbe il perché vedete che al seno è "intrappolato" in un certo senso dentro al logaritmo. Quindi:

Proviamo a calcolarci la derivata: allora dobbiamo fare la derivata della funzione esterna mettendoci però come argomento non

, ma la funzione interna. Quindi il ragionamento che uno deve fare è: Qual è la derivata della funzione logaritmo di , cioè della funzione esterna? Sarebbe , ecco, allora invece di scrivere ci mettiamo la funzione interna, cioè . E tutto questo lo dobbiamo moltiplicare per la derivata della funzione interna, cioè in questo caso per la derivata della funzione seno che è il coseno. Dunque:

Vedete quindi che, facendo riferimento alla formula generale:

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rappresenta

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