Calcolare le radici terze di
[math]-81[/math]
.
Si deve calcolare
[math]z[/math]
in modo che [math]z^3 = -81[/math]
. Dato che [math]z[/math]
e [math]-81[/math]
sono numeri complessi possono essere scritti in modulo e fase
[math]z = \\rho e^{i \theta}[/math]
[math]-81 = 3^3 e^{i \\pi}[/math]
dove
[math]\\rho[/math]
e [math]\theta[/math]
sono il modulo e la fase di [math]z[/math]
. Quindi
[math]\\rho^3 e^{i 3 \theta} = 3^3 e^{i \\pi}[/math]
da cui
[math]\\rho^3 = 3^3 \quad \implies \quad \\rho = 3[/math]
[math]3 \theta = \\pi + 2k \\pi \quad \implies \quad \theta = \frac{\\pi}{3} + \frac{2}{3} k \\pi \quad k = 0,1,2[/math]
Quindi le radici terze di
[math]-81[/math]
sono
[math]3 e^{i (\frac{\\pi}{3} + \frac{2}{3} k \\pi)} \quad k = 0,1,2[/math]
FINE
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