Calcolo integrale in più variabili

Appunti di Analisi II

Gianni Sammito

Calcolo integrale in più variabili

Integrali doppi

Nel caso di una funzione di una variabile f : [a, b] → R, supponendo f continua e f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b], la quantità

∫_a^b f (x)dx

indica l’area fra il grafico della funzione e l’asse x. Analogamente gli integrali doppi esprimono il volume dei solidi delimitati dal grafico di funzioni di due variabili e dal piano xy (z = 0).

Supponiamo di avere una funzione f : D → R, D ⊂ R² compatto e f continua e f (x, y) ≥ 0 ∀(x, y) ∈ D, allora

∫∫_D f (x, y)dxdy

indica il volume del solido delimitato dal grafico della f e dal piano xy. Tagliando la superficie con dei piani si ottengono delle curve, di cui si può calcolare l’area.

Esempio: si consideri la funzione f : D → R : (x, y) 7→ x² + y² + 1, con D = [−1, 1] × [−1, 1].

In questo caso il dominio della funzione è un quadrato. L’area del solido delimitato dal grafico di f e dal piano xy è, al solito

∫∫_D f (x, y)dxdy

Fissiamo y arbitrariamente e tagliamo la superficie con un piano di equazione y = y₀, y₀ ∈ R.

Se il grafico della funzione ha equazione cartesiana z = x² + y² + 1, dopo aver fissato y₀ si ottiene

z = x² + (1 + y₀²)

che è una parabola rispetto a x. L’area della zona data dall’intersezione fra il piano y = y₀ e la parte delimitata dal grafico della funzione e dal piano xy vale

∫₋₁¹ (x² + y₀² + 1)dx = [¹⁄₃x³ + (y₀² + 1)x]₋₁¹ = ²⁄₃ + 2y₀² + 2 = a (y₀)

Spostandosi di un incremento dy si ottiene una sezione molto simile, di conseguenza a (y₀ + dy) ≈ a (y₀). Il volume di questa fetta, che di fatto è un volume infinitesimo, vale

dv = a (y₀) dy

Per calcolare il volume totale è necessario sommare tutti questi volumi infinitesimi, ovvero è necessario calcolare l’integrale di a (y₀) rispetto a y, per y ∈ [−1, 1], ovvero

∫₋₁¹ a (y₀) dy = ∫₋₁¹ (⁸⁄₃ + 2y²)dy = [⁸⁄₃y + ²⁄₃y³]₋₁¹ = ²⁰⁄₃

www.matematicamente.it

Gianni Sammito Appunti di Analisi II

Di conseguenza

∫∫_D f (x, y)dxdy = ²⁰⁄₃

Il procedimento usato si riassume così

∫∫_D f (x, y)dxdy = ∫₋₁¹∫₋₁¹ (x² + y² + 1)dx dy

Invertendo l’ordine di integrazione il risultato non cambia. In generale, sia D = [a, b] × [c, d] e sia f : D → R una funzione continua, allora

∫∫_D f (x, y)dxdy = ∫_c^d∫_a^b f (x, y)dxdy = ∫_a^b∫_c^d f (x, y)dydx

Se f cambia segno allora l’integrale doppio è la somma algebrica fra il volume della parte sopra il piano xy e quella sotto.

Insiemi x-semplici e y-semplici

Definizione: dato A ⊂ R², se esistono due funzioni continue g₁, g₂ : [a, b] → R tali che

A = {(x, y) ∈ R² : a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)}

allora l’insieme A si dice y-semplice. Analogamente, se esistono due funzioni continue h₁, h₂ : [c, d] → R tali che A = {(x, y) ∈ R² : c ≤ y ≤ d, h₁(y) ≤ x ≤ h₂(y)}

allora l’insieme A si dice x-semplice. Se un sottoinsieme di R² è y-semplice, allora comunque si tagli l’insieme con una retta nel piano di equazione x = k (k ∈]a, b[) si ottiene sempre un segmento. Se invece un sottoinsieme di R² è x-semplice, allora comunque si tagli l’insieme con una retta nel piano di equazione y = k (k ∈]c, d[) si ottiene sempre un segmento.

Esempio: il cerchio unitario con centro nell’origine è un insieme sia x-semplice che y-semplice, dato che può essere scritto in questi due modi

(x, y) ∈ R² : −1 ≤ y ≤ 1, −√(^{1 − y2}) ≤ x ≤ √(^{1 − y2})   x-semplice

(x, y) ∈ R² : −1 ≤ x ≤ 1, −√(^{1 − x2}) ≤ y ≤ √(^{1 − x2})   y-semplice

Verificare per esercizio che i triangoli e i rettangoli sono insiemi sia y-semplici che x-semplici.

Esempio: in Figura 1 è riportato un insieme y-semplice ma non x-semplice.

Figura 1: Insieme y-semplice ma non x-semplice

Come si può vedere l’insieme non è x-semplice, se infatti lo si taglia con la retta y = 2 non si ottiene un segmento, bensì due segmenti.

Esempio: in Figura 2 è riportato un insieme che non è né y-semplice né x-semplice.

www.matematicamente.it

Gianni Sammito Appunti di Analisi II

Figura 2: Insieme né x-semplice né y-semplice

Stavolta l’insieme considerato, oltre a non essere x-semplice, non è neppure y-semplice. Se ad esempio lo si taglia con la retta di equazione x = −2, non si ottiene un segmento, bensì due segmenti.

Teorema sui domini semplici

Teorema: si consideri un insieme y-semplice, del tipo

A = {(x, y) ∈ R² : a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)}

e si consideri una funzione f : A → R continua nel suo dominio. Allora

∫∫_A f (x, y)dxdy

esiste finito, e risulta

∫∫_A f (x, y)dxdy = ∫_a^b∫_g1(x)^g₂(x) f (x, y)dydx

Il Teorema si estende analogamente ai domini x-semplici. Sia

B = {(x, y) ∈ R² : c ≤ y ≤ d, h₁(y) ≤ x ≤ h₂(y)}

e si consideri una funzione f : B → R continua nel suo dominio. Allora

∫∫_B f (x, y)dxdy

esiste finito, e risulta

∫∫_B f (x, y)dxdy = ∫_c^d∫_h1(y)^h₂(y) f (x, y)dxdy

Ci sono casi in cui il dominio di integrazione non sia né x-semplice né y-semplice, ma comunque dato dall’unione di un numero finito di domini x-semplici (o y-semplici).

Si consideri un insieme A, e supponiamo che non sia né x-semplice né y-semplice. Supponiamo inoltre che A = A₁ ∪ A₂ ∪ . . . ∪ A_n

e che A_i ∩ A_j = ∅ per ogni i, j = 1, 2, . . . , n con i ≠ j

e supponiamo che A_i sia un dominio semplice (non importa se rispetto a x o rispetto a y), per i = 1, 2, . . . , n. Sia f : A → R una funzione continua nel suo dominio, allora

∫∫_A f (x, y)dxdy

esiste finito, e risulta

∫∫_A f (x, y)dxdy = ∑_i=1ⁿ ∫∫_Ai f (x, y)dxdy

Una volta scritto l’integrale secondo questa somma è sufficiente sfruttare i risultati forniti dal precedente Teorema. ¤

Esempio di dominio triangolare

Esempio: data la funzione f : R² → R : (x, y) 7→ sin²(√π − x), calcolare

∫∫_T f (x, y)dxdy

dove T è la parte di piano interna al triangolo delimitato dalle rette di equazione x = 2√π, y = √π, x = y.

Il dominio è sia x-semplice che y-semplice, proviamo a scriverlo come x-semplice

T = {(x, y) ∈ R² : √π ≤ y ≤ 2√π, y ≤ x ≤ 2√π}

A questo punto si può impostare l’integrale in questo modo

∫_√π^2√π∫_y^2√π sin²(√π − x) dxdy

Non è possibile trovare una primitiva in forma elementare di sin²(√π − x) (ovviamente rispetto a x), per questo motivo, seguendo questa via, l’integrale non è calcolabile.