Calcolo delle aree con l'integrale

Il problema che dal punto di vista storico aveva condotto al calcolo degli integrali definiti era quello che permetteva di ottenere l’area di superfici piane limitate da contorni curvilinei.
Determinare la superficie della parte di piano delimitata da una funzione e da due rette parallele all’asse delle ordinate detta trapezioide, come nella seguente figura, non è possibile con le formule di geometria piana.


Per determinare l’area si possono considerare successioni di poligoni regolari inscritti e circoscritti, utilizzando lo stesso metodo usato per il cerchio.
Dividendo in n rettangoli l’intervallo [a;b] avremo n rettangoli di base h=b-a/n e aventi per altezza rispettivamente il minimo ed il massimo che la funzione assume in ciascun intervallo di ampiezza h.

Indicando con
(Sommatoria dell’area dei rettangoli inscritti) l’area del plurettangolo inscritto,

e con (Sommatoria dell’area dei rettangoli circoscritti) l’area del plurettangolo circoscritto

l’area S del trapezoide sarà sempre compresa tra sn e Sn
Maggiore sarà il numero di rettangoli, più precisa sarà l’area del trapezoide.

La successione delle aree di tali rettangoli data dalla sommatoria delle aree dei plurirettangoli per n che tende ad infinito, tende all’area del trapezoide.
Quindi:

S=Integrate[f(x),{x,a,b}]= lim [sn] as n->+∞ = lim [Sn] as n->+∞

Possiamo quindi giungere al concetto di Integrale definito.
Data la funzione y=f(x) definita e continua in [a;b], si dice integrale definito di f(x) relativo all’intervallo [a;b] il limite

E si indica con: