Appunti di Analisi I

Appunti di analisi I

Elefante Paola

Matr. 900025133

1. Limiti di funzioni reali

Definizioni preliminari

1.1. Siano x₀ ∈ R, ρ > 0. L’intorno sferico di x₀ di raggio ρ è l’intervallo ]x₀ − ρ, x₀ + ρ[.

Inoltre definiamo la famiglia degli intorni sferici di x₀:

I(x₀) = { ]x₀ − ρ, x₀ + ρ[ : ρ > 0 }.

e l’insieme degli intorni forati:

I^◦(x₀) = {I : I = (I ∈ I(x₀))\{x₀}}.

Punto di accumulazione

Siano A ⊆ R, x₀ ∈ R. x₀ è un punto di accumulazione di A se A ∩ I^◦ ≠ ∅ ∀I ∈ I^◦(x₀).

Chiamiamo derivato di A, indicato con la notazione D(A), l’insieme dei punti di accumulazione di A.

Funzioni pari, dispari e monotone

Una funzione f si dice pari se f(−x) = f(x); una funzione g è invece dispari se g(−x) = −g(x).

Una funzione f : A ⊆ R → R è:

• Crescente se ∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ implica f(x₁) < f(x₂).
• Non decrescente se ∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ implica f(x₁) ≤ f(x₂).
• Decrescente se ∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ implica f(x₁) > f(x₂).
• Non crescente se ∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ implica f(x₁) ≥ f(x₂).

1

2 Elefante Paola Matr. 900025133

1.2. Definizione di limite

Siano f : A ⊆ R → R, x₀ ∈ D(A), λ ∈ R^* = R ∪ {−∞, +∞}.

Diremo che:

lim_x→x0 f(x) = λ ⇔ ∀V ∈ I(λ) ∃I ∈ I^◦(x₀) : f(x) ∈ V ∀x ∈ A ∩ I.

In modo del tutto analogo possiamo formulare una definizione leggermente diversa con:

lim_x→x0 f(x) = λ ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ A, |x − x₀| < δ ⇒ |f(x) − λ| < ε.

N.B. ε è arbitrario, δ no!

1.3. I principali teoremi

Elencherò ora i principali teoremi sui limiti di funzioni reali, con relative dimostrazioni.

Teorema 1.1 (unicità del limite)

Siano A ⊆ R, x₀ ∈ D(A) ∩ R^*, f : A → R. Se esistono λ, σ ∈ R tali che:

lim_x→x0 f(x) = λ e lim_x→x0 f(x) = σ,

allora λ = σ.

Dimostrazione. Per la dimostrazione impostiamo un ragionamento ad absurdum. Supponiamo infatti che λ ≠ σ; allora esistono I₁ ∈ I(λ), I₂ ∈ I(σ) tali che I₁ ∩ I₂ = ∅.

Per la definizione di limite devono esistere U₁, U₂ ∈ I^◦(x₀) tali che:

f(x) ∈ I₁ ∀x ∈ U₁ ∩ A,

f(x) ∈ I₂ ∀x ∈ U₂ ∩ A.

Se prendiamo in considerazione però l’intorno U₁ ∩ U₂, in esso risulterebbe f(x) ∈ I₁ ∩ I₂ ≠ ∅, il che contraddice l’ipotesi.

C.V.D. 1

Teorema 1.2 (segno)

Siano f : A ⊆ R → R una funzione continua in A, x₀ ∈ D(A), λ ∈ R^*. Se:

lim_x→x0 f(x) = λ ⇒ ∃I ∈ I^◦(x₀) : λf(x) > 0 ∀x ∈ I ∩ A.

Dimostrazione. Prendiamo in considerazione il caso λ ∈ R⁺. Per la definizione di limite:

∀ε > 0 ∃I ∈ I^◦(x₀) : ∀x ∈ I ∩ A, |f(x) − λ| < ε.

Dato che ε è arbitrario possiamo sceglierlo in modo che ε < λ ⇒ λ − ε > 0. In questo modo otteniamo:

0 < λ − ε < f(x) < ε + λ,

ovvero nell’intorno I f(x) > 0 e di conseguenza λf(x) > 0.

Analogamente si dimostra il caso in cui λ ∈ R⁻. Supponiamo invece λ = +∞. La definizione di limite diventa:

∀M > 0 ∃I ∈ I^◦(+∞) : ∀x ∈ I ∩ A, f(x) > M.

Dato che nell’intorno I, 0 < M < f(x), si vede subito che λf(x) > 0. Il caso in cui λ = −∞ è del tutto simile.

C.V.D.

Teorema 1.3 (dei due carabinieri)

Siano f, g, h : A ⊆ R → R, x₀ ∈ D(A) ∩ R^*. Supponiamo che esista U₀ ∈ U^◦(x₀) tale che f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). Se:

lim_x→x0 f(x) = lim_x→x0 h(x) = λ ⇒ lim_x→x0 g(x) = λ.

Dimostrazione.

Per ipotesi:

∀ε > 0 ∃U₁ ∈ U^◦(x₀) : ∀x ∈ U₁ ∩ A, |f(x) − λ| < ε.

∀ ε > 0 ∃U₂ ∈ U^◦(x₀) : ∀x ∈ U₂ ∩ A, |h(x) − λ| < ε.

Perciò nell’intervallo U₃ = U₁ ∩ U₂ varranno tutte e tre le ipotesi, ovvero:

λ − ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < λ + ε ⇒ lim_x→x0 g(x) = λ.

C.V.D.

Teorema 1.4

Siano f, g : A ⊆ R → R, x₀ ∈ D(A) ∩ R^*. Allora:

(1) lim_x→x0 f(x) = λ ∈ R, lim_x→x0 g(x) = σ ∈ R ⇒ lim_x→x0 [f(x) + g(x)] = λ + σ.

(2) lim_x→x0 f(x) = λ ∈ R, lim_x→x0 g(x) = σ ∈ R ⇒ lim_x→x0 f(x)g(x) = λσ.

(3) lim_x→x0 f(x) = λ ∈ R, lim_x→x0 g(x) = σ ∈ R⁰, g(x) ≠ 0 ∀x ∈ A ⇒ lim_x→x0 f(x)/g(x) = λ/σ.

(4) lim_x→x0 f(x) = +∞(−∞), lim_x→x0 g(x) = +∞(−∞) ⇒ lim_x→x0 [f(x) + g(x)] = +∞(−∞), lim_x→x0 f(x)g(x) = +∞.

(5) lim_x→x0 f(x) = +∞, lim_x→x0 g(x) = −∞ ⇒ lim_x→x0 f(x)g(x) = −∞.

(6) lim_x→x0 f(x) = λ ∈ R ⇒ lim_x→x0 |f(x)| = |λ|.

(7) lim_x→x0 f(x) = λ ∈ R ⇒ lim_x→x0 1/f(x) = 1/λ.

Dimostrazione.

Le dimostrazioni si costruiscono partendo dalla definizione di limite.

Calcolo di alcuni limiti notevoli

1.4. Primo limite notevole

lim_x→0 sin(x)/x = 1

Come si osserva in figura (1):

∀ x ∈ ]−π/2, π/2[, |sin(x)| < |x| < |tan(x)|.

Divido per |sin(x)|:

1 < |x|/|sin(x)| < 1/|cos(x)|.

Figure 1.

x e sin(x) hanno segno concorde nell’intervallo ]−π/2, π/2[. Inoltre, nel medesimo intervallo cos(x) > 0. Quindi posso omettere il valore assoluto.

lim_x→0 cos(x) = 1 ⇒ lim_x→0 sin(x)/x = 1 = lim_x→0 1/cos(x), per il Teorema dei due carabinieri (1.3).

2 Con la notazione R⁰ indico l’insieme R \ {0}.

0 Appunti di analisi I 5

Secondo limite notevole

lim_x→0 tan(x)/x = 1

Sapendo che tan(x) = sin(x)/cos(x) ottengo:

lim_x→0 tan(x)/x = lim_x→0 [sin(x)/x] · [1/cos(x)].

Inoltre lim_x→0 cos(x) = 1 e, come precedentemente dimostrato, lim_x→0 sin(x)/x = 1; ottengo allora:

lim_x→0 tan(x)/x = 1.

Terzo limite notevole

lim_x→0 (1 − cos(x))/x² = 1/2