Applicazioni dell'integrale definito: volumi e aree

Integrazione

Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it

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Applicazioni dell'integrale definito: volume e area della superficie di solidi

L'area della superficie e il volume di un solido generato dalla rotazione del grafico di una funzione continua attorno ad un asse, possono essere trovati integrando una funzione su un intervallo.

Il volume del solido, ottenuto ruotando attorno all'asse x la regione piana compresa tra il grafico di una funzione continua y = f(x), l'asse x e le rette di equazioni x=a e x = b, è dato dal seguente integrale:

b 2

π . f x d

x

a

Se la funzione y = f(x) ha la derivata prima continua nell'intervallo [a, b], l'area della superficie generata ruotando la curva f(x) attorno all'asse x si calcola mediante il seguente integrale:

b 2

d

π

. . .

S 2 y 1 d

x

y

dx

a

Volume di una sfera

Qual è il volume di una sfera di raggio 12 centimetri?

.

R 12 cm

Consideriamo la seguente funzione:

2 2

f x R x 10

5

10 5 0 5 10

Se ruotiamo il grafico di f(x) attorno all'asse x, otteniamo una sfera di raggio R il cui volume è dato dal seguente integrale: 1