Definizione
Data una successione
[math]f_k[/math]
, [math]k = 0, 1, 2, \ldots[/math]
, si chiama trasformata zeta di [math]f_k[/math]
, e si indica con [math]Z[f_k](z)[/math]
o [math]F(z)[/math]
, la funzione
[math]F(z) = \sum_{k=0}^{+\infty} f_k z^{-k}[/math]
definita per
[math]z \in \Omega subseteq \mathbb{C}[/math]
. L'insieme [math]\Omega[/math]
si chiama regione di convergenza, ed è formato da tutti gli [math]z \in \mathbb{C}[/math]
tali per cui la serie precedente risulta convergente.
Proprietà
Nel seguito, per comodità , si indicheranno con
[math]F(z)[/math]
e [math]G(z)[/math]
le trasformate zeta di, rispettivamente, [math]f_k[/math]
e [math]g_k[/math]
.
Linearità
[math]Z[a f_k + b g_k](z) = a F(z) + b G(z)[/math]
, per ogni [math]a, b \in \mathbb{R}[/math]
Proprietà del ritardo (scorrimento verso destra)
[math]Z[f_{k - h}](z) = z^{-h} F(z)[/math]
, per ogni [math]h \in \mathbb{N}[/math]
Proprietà dell'anticipo (scorrimento verso sinistra)
[math]Z[f_{k+1}](z) = z F(z) - z f_0[/math]
[math]Z[f_{k+2}](z) = z^2 F(z) - z^2 f_0 - z f_1[/math]
[math]vdots[/math]
[math]Z[f_{k+h}](z) = z^h F(z) - z^h f_0 - z^{h-1} f_1 - \ldots - z f_{h-1}[/math]
, per ogni [math]h \in \mathbb{N} setmi
us {0}[/math]
us {0}[/math]
Caso particolare: se
[math]f_0 = f_1 = \ldots = f_{h-1} = 0[/math]
, allora [math]Z[f_{k + h}](z) = z^h F(z)[/math]
Traslazione nel dominio di [math]z[/math]
[math]Z[a^k f_k](z) = F(\frac{z}{a})[/math]
, [math]a \ne 0[/math]
Trasformata della somma di convoluzione
[math]Z[\sum_{j=0}^{k} f_{k-j} g_j] = F(z) G(z)[/math]
Moltiplicazione per [math]k[/math]
[math]Z[k \cdot f_k](z) = - z \frac{d}{dz} F(z)[/math]
Teorema del valore finale
Se
[math]\lim_{k \to +\infty} f_k[/math]
e [math]\lim_{z \to 1} \frac{z-1}{z} F(z)[/math]
esistono finiti, allora
[math]\lim_{k \to +\infty} f_k = \lim_{z \to 1} \frac{z-1}{z} F(z)[/math]
Trasformate zeta notevoli
| Successione | Trasformata |
|
[math]\delta_k^0 = \egin{cases} 1 & \quad \text{se } k = 0 \\ 0 & \quad \text{altrimenti} \ \end{cases}[/math] (impulso unitario) |
[math]1[/math] |
|
[math]\delta_k^1 = u_k = \egin{cases} 1 & } \ldots \\ 0 & \quad \text{altrimenti} \ \end{cases}[/math] (gradino unitario) |
[math]\frac{z}{z-1}[/math] |
|
[math]k u_k[/math] (rampa unitaria)[math]
| [/math]frac{z}{(z-1)^2} [math]
|
| [/math]u_{k-h} [math] (gradin o unitario con inizio in [/math] k=h[math])
| [/math]z^{-h} frac{z}{z-1} [math]
|
| [/math]a^k u_k [math] (successio
e espo enziale) | [/math]frac{z}{z-a} [math]
|
| [/math]k cdot a^k cdot u_k [math]
| [/math]frac{a z}{(z-a)^2} [math]
|
| [/math]a^k ((k),(h)) [math] (potenza-polin omio)
| [/math]frac{a^h z}{(z-a)^{h+1}} [math]
|
| [/math]sin(k heta) cdot u_k [math] (\\si
usoide) | [/math]frac{z sin( heta)}{z^2 - 2 z cos( heta) + 1} [math]
|
| [/math]cos(k heta) cdot u_k [math]
| [/math]frac{z^2 - z cos( heta)}{z^2 - 2 z cos( heta) + 1}$ |
Antitrasformata zeta
Data una trasformata zeta razionale
[math]F(z)[/math]
, per risalire alla corrispondente successione [math]f_k[/math]
si possono seguire i seguenti passi
1) Definire $ar{F}(z) = frac{1}{z} F(z)
[math] >p> >/p> >p> 2) Scomporre [/math]
ar{F}(z)[math] in fratti semplici >p> >/p> >p> 3) Considerare che [/math]
F(z) = z ar{F}(z)$
4) Antitrasformare
[math]F(z)[/math]
facendo uso delle trasformate notevoli
Esempio: antitrasformare $F(z) = frac{1}{(z-1)(z+2)}
[math]. Risulta [/math]
ar{F}(z) = frac{1}{z} F(z) = frac{1}{z(z-1)(z+2)}[math]. Scompo
endo in fratti semplici si ottie
e [/math]
ar{F}(z) = frac{A}{z} + frac{B}{z-1} + frac{C}{z+2}endo in fratti semplici si ottie
e [/math]
[math] dove >p> >/p> >p> [/math]
A = lim_{z o 0} z ar{F}(z) = lim_{z o 0} z frac{1}{z(z-1)(z+2)} = frac{1}{2} qquad B = lim_{z o 1} (z-1) F(z) = lim_{z o 1} (z-1) frac{1}{z(z-1)(z+2)} = frac{1}{3}[math] >p> >/p> >p> [/math]
C = lim_{z o -2} (z+2) ar{F}(z) = lim_{z o -2} (z+2) frac{1}{z(z-1)(z+2)} = frac{1}{6}[math] >p> >/p> >p> Quin di [/math]
ar{F}(z) = -frac{1}{2} frac{1}{z} + frac{1}{3} frac{1}{z-1} + frac{1}{6} frac{1}{z+2}[math], di conseguenza [/math]
F(z) = -frac{1}{2} + frac{1}{3} frac{z}{z-1} + frac{1}{6} frac{z}{z+2}[math], e antitrasformando, sfrut\\tando le trasformate notevoli, si ottie
e
f_k = -frac{1}{2} delta_k^0 + (frac{1}{3} + frac{1}{6} (-2)^k) u_k$ e
[/math]
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