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Svolgimenti Studi di Funzioni Logaritmiche
Il file pdf contiene gli svolgimenti di tutti gli esercizi proposti dal libro di testo Matematica.blu 2.0 Vol. 5 (Bergamini, Trifone, Barozzi) per i Licei Scientifici.
Gli svolgimenti sono stati eseguiti dal software per la risoluzione on line di esercizi di matematica (Algebra, Geometria Analitica, Analisi)
Le funzioni presenti sono le seguenti:
f(x) = x^2 ln(x)\\
f(x) = \frac{x}{ln(x)}\\
f(x) = ln \left(-1+x^2 \right)\\
f(x) = ln \left(\frac{x}{2+x} \right)\\
f(x) = \frac{1}{ln(x)}\\
f(x) = \frac{1-ln(x)}{ln(x)}\\
f(x) = ln \left( 1- \frac{2}{x} \right)\\
f(x) = 1+ ln \left(-2+x \right) + ln \left( 2+x \right)\\
f(x) = \frac{ln(x)}{4 x^2}\\
f(x) = 3-4 ln(x)+ ln(x)^2\\
f(x) = \frac{ln(x)}{-1+ln(x)}\\
f(x) = 2 ln(x)^2- ln \left(x^2 \right)\\
f(x) = ln \left( \frac{-8+2 x}{-3+x} \right)\\
f(x) = ln \left(5-6 x+x^2 \right)\\
f(x) = \frac{-2+4 ln(x)}{x^2}\\
f(x) = \frac{-1+ ln(x)}{1+ln(x)}\\
f(x) = ln (3+x)^2\\
f(x) = ln \left(2 x-x^3 \right)\\
f(x) = ln \left( \frac{-1+x^2}{x} \right)\\
f(x) = x ln \left(x^4 \right)\\
f(x) = x ln \left(2+x \right)\\
f(x) = \frac{1}{ln(x)}+ ln(x)\\
f(x) = \sqrt{x} ln(x)\\
f(x) = ln \left( 1+e^x \right)\\
f(x) = \frac{ln(-x)}{2 x}
[/math]
Lo studio di funzione comprende i seguenti studi:
1) Studio del dominio compreso il grafico nel piano cartesiano con lo studio di segno della funzione
2) Limiti e asintoti
3) Punti di discontinuità
4) Studio del segno della derivata prima e crescenz, decrescenza e punti stazionati
5) Ricerca dei punti stazionari con il metodo delle derivate successive
Studio di segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso
Grafico della funzione
3
Limiti e asintoti
** **
Limiti
1-log(x)
lim = -1
log(x)
x→0 + 1-log(x) x 1
lim asintoto verticale
= -∞ ⇒ =
log(x)
x→1 - 1-log(x) x 1
lim asintoto verticale
= ∞ ⇒ =
log(x)
x→1 + 1-log(x) y
lim asintoto orizzontale
= -1 ⇒ = -1
log(x)
x→∞
Asintoti
x 1
=
y = -1
Studio della continuitá
** **
Punti di discontinuitá 1-log(x)
x lim
Discontinuitá di III specie funzione non definitia a sinistra di 0
=0 =
1 log(x)
x→0 - 1-log(x)
lim = -1
log(x)
x→0 +
f( 0 ) = ∄
1-log(x)
x lim
Discontinuitá di II specie
=1 = -∞
2 log(x)
x→1 - 1-log(x)
lim = ∞
log(x)
x→1 +
f( 1 ) = ∄
Creato da Roberto Caria per skuola.net
4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá
** **
1
y (1) (x)=- 2
log
x (x)
Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari
0 1
-∞ ∞
-1 ⨯ ⨯
x ⨯ ⨯
2
log (x) ↘ ↘
Lo studio del segno della derivata prima non restituisce punti stazionari
**********
Se lo studio del segno é stato restituito in forma semplificata
é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente
per determinare i punti stazionari
**********
Creato da Roberto Caria per skuola.net 5
Il metodo delle derivate successive non restituisce punti stazionari
La funzione non ha punti di non derivabilitá
Creato da Roberto Caria per skuola.net
6 Derivata seconda e punti di flesso
** **
log(x) 2
+
y (2) (x)= 3
2 log
x (x)
Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso
1
0 1
-∞ ∞
2
ⅇ
⨯ ⨯
2
x ⨯
3
log (x) ⨯
log(x) 2
+ ︶ ︵ ︶
⟷
Punti di flesso
1 32
; -
2
ⅇ
Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso
2
m ⅇ
= -
1 4
Tangenti nei punti di flesso
1 2
t y 5
x
= -ⅇ -
)
1 4
Creato da Roberto Caria per skuola.net 7
Grafici della funzione
** **
Grafico panoramico 4
2 2 4
-4 -2 -2
-4
Creato da Roberto Caria per skuola.net
8 Grafico in dettaglio
1.0
0.5 1 2 3
-1 -0.5
-1.0
-1.5
-2.0
-2.5
Creato da Roberto Caria per skuola.net 9
Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1
1.0
0.5 1 2 3
-1 -0.5
-1.0
-1.5
-2.0
-2.5
Tempo di elaborazione: 2.8090807 s
Creato da Roberto Caria per skuola.net 1
Studio della seguente funzione
** **
2
y log1
= -
x
La funzione si semplifica nel seguente modo:
2
x -
y log
=
x
Studio della seguente funzione: 2
y log1
= -
x
Generalitá sulla funzione
** **
Funzione ne pari ne dispari
Dominio
** **
Condizioni per determinare il dominio
2
1 0
- >
x
0
x ≠
Creato da Roberto Caria per skuola.net
2 Dominio della funzione
]-∞;0[ ⋃ ]2;∞[
=
Grafico del dominio e dello studio del segno
3
2
1 0 2
0
-1
-2
-3 0 1 2 3 4
-2 -1
Non ci sono intersezioni con gli assi cartesiani
Creato da Roberto Caria per skuola.net 3
Limiti e asintoti
** **
Limiti 2
lim log1 0 y 0 asintoto orizzontale
- = ⇒ =
x
x→-∞ 2
log1 x 0
lim asintoto verticale
- = ∞ ⇒ =
x
x→0 - 2
log1 x 2
lim asintoto verticale
- = -∞ ⇒ =
x
x→2 + 2
log1 0 y 0
lim asintoto orizzontale
- = ⇒ =
x
x→∞
Asintoti
y 0
=
x 0
=
x 2
=
Studio della continuitá
** **
Punti di discontinuitá 2
x lim log1
Discontinuitá di II specie
=0 - = ∞
1 x
x→0 - 2
lim log1 funzione non definitia a destra di 0
- =
x
x→0 +
f( 0 ) = ∄ 2
x lim log1
Discontinuitá di II specie funzione non definitia a sinistra di 2
=2 - =
2 x
x→2 - 2
lim log1 - = -∞
x
x→2 +
f( 2 ) = ∄
Creato da Roberto Caria per skuola.net
4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá
** **
2
y (1) (x)= 2) x
(x -
Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari
0 2
-∞ ∞
⨯ ⨯
2 ⨯
2
-
x ⨯ ⨯
x ↗ ↗
Lo studio del segno della derivata prima non restituisce punti stazionari
**********
Se lo studio del segno é stato restituito in forma semplificata
é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente
per determinare i punti stazionari
**********
Creato da Roberto Caria per skuola.net 5
Il metodo delle derivate successive non restituisce punti stazionari
La funzione non ha punti di non derivabilitá
Creato da Roberto Caria per skuola.net
6 Derivata seconda e punti di flesso
** **
4 1)
(x -
y (2) (x)=- 2 2
2) x
(x -
Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso
0 1 2
-∞ ∞
-4 ⨯ ⨯
2
2)
(x - ⨯
1
-
x ⨯ ⨯
2
x ︶ ︵
Lo studio del segno della derivata seconda non restituisce punti di flesso
**********
Se lo studio del segno della derivata seconda é stato restituito in forma semplificata
é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente
per determinare i punti di flesso
**********
Creato da Roberto Caria per skuola.net 7
Grafici della funzione
** **
Grafico panoramico 3
2
1 2 4
-4 -2 -1
-2
-3
Creato da Roberto Caria per skuola.net
8 Grafico in dettaglio 6
4
2 1 2 3
-1 -2
-4
-6
Tempo di elaborazione: 2.0350303 s
Creato da Roberto Caria per skuola.net 1
Studio della seguente funzione:
y log(x 2) log(x 2) 1
= - + + +
Generalitá sulla funzione
** **
Funzione ne pari ne dispari
Dominio
** **
Condizioni per determinare il dominio
2 0
x - >
2 0
x + >
Creato da Roberto Caria per skuola.net
2 Dominio della funzione
]2;∞[
=
Grafico del dominio e dello studio del segno
3
2
1 1
24 + ⅇ
0
-1
-2
-3 0 1 2 3 4
Intersezioni con gli assi cartesiani
** **
1
4 ; 0
+ ⅇ
Creato da Roberto Caria per skuola.net 3
Limiti e asintoti
** **
Limiti
lim log(x 2) log(x 2) 1 x 2 asintoto verticale
- + + + = -∞ ⇒ =
x→2 +
lim log(x 2) log(x 2) 1
- + + + = ∞
x→∞
Asintoti
x 2
=
Studio della continuitá
** **
Punti di discontinuitá
x lim log(x 2) log(x 2) 1
Discontinuitá di II specie funzione non definitia a sinistra di 2
=2 - + + + =
1 x→2 - log(x 2) log(x 2) 1
lim - + + + = -∞
x→2 +
f( 2 ) = ∄
Creato da Roberto Caria per skuola.net
4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá
** **
2 x
y (1) (x)= 2) 2)
(x - (x +
Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari
2
-∞ -2 ∞
⨯ ⨯
2 ⨯
2
-
x ⨯
x ⨯
2
+
x ↗
Lo studio del segno della derivata prima non restituisce punti stazionari
**********
Se lo studio del segno é stato restituito in forma semplificata
é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente
per determinare i punti stazionari
**********
Creato da Roberto Caria per skuola.net 5
Il metodo delle derivate successive non restituisce punti stazionari
Punti di non derivabilitá
1 1
f'(x) = +
x+2 x-2
; ; lim f'(x) ; lim f'(x)
Punto di cuspide e minimo relativo
( -2 -∞ ) → = -∞ = ∞
x→-2 x→-2
- +
Creato da Roberto Caria per skuola.net
6 Derivata seconda e punti di flesso
** **
2
2 4
x +
y (2) (x)=- 2 2
2)
2) (x +
(x -
Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso
2
-∞ -2 ∞
-2 ⨯
2
2)
(x - ⨯
2
2)
(x + ⨯
2 4
+
x ︵
Lo studio del segno della derivata seconda non restituisce punti di flesso
**********
Se lo studio del segno della derivata seconda é stato restituito in forma semplificata
é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente
per determinare i punti di flesso
**********
Creato da Roberto Caria per skuola.net 7
Grafici della funzione
** **
Grafico panoramico 4
3
2
1 2 4
-4 -2
Creato da Roberto Caria per skuola.net
8 Grafico in dettaglio 1 1 2 3
-3 -2 -1 -1
-2
-3
-4
-5
-6
Creato da Roberto Caria per skuola.net 9
Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 1 1 2 3
-3 -2 -1 -1
-2
-3
-4
-5
-6
Tempo di elaborazione: 1.5821106 s
Creato da Roberto Caria per skuola.net 1
Studio della seguente funzione:
log(x)
y = 2
4 x
Generalitá sulla funzione
** **
Funzione ne pari ne dispari
Dominio
** **
Condizioni per determinare il dominio
0
x > 0
x ≠
Creato da Roberto Caria per skuola.net
2 Dominio della funzione
]0;∞[
=
Grafico del dominio e dello studio del segno
3
2
1 0 1
0
-1
-2
-3 0 1 2 3
-2 -1
Intersezioni con gli assi cartesiani
** **
1 ; 0
( )
Creato da Roberto Caria per skuola.net 3
Limiti e asintoti
** **
Limiti
log(x)
lim x 0 asintoto verticale
= -∞ ⇒ =
2
4 x
x→0 + log(x) 0 y 0
lim asintoto orizzontale
= ⇒ =
2
4 x
x→∞
Asintoti
x 0
=
y 0
=
Studio della continuitá
** **
Punti di discontinuitá log(x)
x lim
Discontinuitá di II specie funzione non definitia a sinistra di 0
=0 =
1 2
4 x
x→0 - log(x)
lim = -∞
2
4 x
x→0 +
f( 0 ) = ∄
Creato da Roberto Caria per skuola.net
4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá
** **
2 log(x) 1
-
y (1) (x)=- 3
4 x
Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari
0
-∞ ∞
ⅇ
1
- 4 ⨯
3
x
2 log(x) 1
- ↗ ︵ ↘
Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima
1
; Massimo relativo
ⅇ →
8 ⅇ
Creato da Roberto Caria per skuola.net 5
Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive
1
; Massimo relativo
ⅇ →
8 ⅇ
Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari
1-2 log(x)
f 1
( ) (x) = 3
4 x
6 log(x)-5
f 2
( ) (x) = 4
4 x
Passaggi per determinare i punti stazionari 1
0 y
x y (1) (2)
= = -
= ⅇ
ⅇ ⅇ
1 2
2 ⅇ
La funzione non ha punti di non derivabilitá
Creato da Roberto Caria per skuola.net
6 Derivata seconda e punti di flesso
** **
6 log(x) 5
-
y (2) (x)= 4
4 x
Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso
5/6
0
-∞ ∞
ⅇ
1 ⨯
4 ⨯
4
x
6 log(x) 5
- ︵ ︶
⟷
Punti di flesso
5
5/6 ;
ⅇ
5/3
24 ⅇ
Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso
1
m = -
1 5/2
6 ⅇ
Tangenti nei punti di flesso
5/6
9
t y x
ⅇ -4
=
)
1 5/2
24 ⅇ
Creato da Roberto Caria per skuola.net 7
Grafici della funzione
** **
Grafico panoramico 0.05 2 4
-4 -2 -0.05
-0.10
-0.15
-0.20
Creato da Roberto Caria per skuola.net
8 Grafico in dettaglio 1.0
0.5 1 2 3
-1 -0.5
-1.0
Creato da Roberto Caria per skuola.net 9
Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1
1.0
0.5 1 2 3
-1 -0.5
-1.0
Tempo di elaborazione: 2.8197700 s
Creato da Roberto Caria per skuola.net 1
Studio della seguente funzione:
2
y log 4 log(x) 3
= (x) - +
Generalitá sulla funzione
** **
Funzione ne pari ne dispari
Dominio
** **
Condizioni per determinare il dominio
0
x >
Creato da Roberto Caria per skuola.net
2 Dominio della funzione
]0;∞[
=
Grafico del dominio e dello studio del segno
3
2
1 3
0 ⅇ ⅇ
0
-1
-2
-3 0 5 10 15 20
Intersezioni con gli assi cartesiani
** **
3
; 0 ; 0
( ⅇ )
ⅇ
Creato da Roberto Caria per skuola.net 3
Limiti e asintoti
** **
Limiti 2
lim log 4 log(x) 3 x 0 asintoto verticale
(x) - + = ∞ ⇒ =
x→0 + 2
log 4 log(x) 3
lim (x) - + = ∞
x→∞
Asintoti
x 0
=
Studio della continuitá
** **
Punti di discontinuitá 2
x lim log 4 log(x) 3
Discontinuitá di II specie funzione non definitia a sinistra di 0
=0 (x) - + =
1 x→0 - 2
log 4 log(x) 3
lim (x) - + = ∞
x→0 +
f( 0 ) = ∄
Creato da Roberto Caria per skuola.net
4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá
** **
2 2)
(log(x) -
y (1) (x)= x
Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari
2
0
-∞ ∞
ⅇ
⨯
2 ⨯
x
log(x) 2
- ↘ ︶ ↗
Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima
2 ; Minimo relativo
ⅇ -1 →
Creato da Roberto Caria per skuola.net 5
Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive
2 ; Minimo relativo
ⅇ -1 →
Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari
2
f (log(x)-2)
1
( ) (x) = x
6-2 log(x)
f 2
( ) (x) = 2
x
Passaggi per determinare i punti stazionari 2
2 2 2
x y 0 y
(1) (2)
= ⅇ = =
ⅇ ⅇ
1 4
ⅇ
La funzione non ha punti di non derivabilitá
Creato da Roberto Caria per skuola.net
6 Derivata seconda e punti di flesso
** **
2 3)
(log(x) -
y (2) (x)=- 2
x
Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso
3
0
-∞ ∞
ⅇ
-2 ⨯
2
x
log(x) 3
- ︶ ︵
⟷
Punti di flesso
3 ; 0
ⅇ
Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso
2
m =
1 3
ⅇ
Tangenti nei punti di flesso
2
t y 2
x
= -
)
1 3
ⅇ
Creato da Roberto Caria per skuola.net 7
Grafici della funzione
** **
Grafico panoramico 10
8
6
4
2 2 4
-4 -2
Creato da Roberto Caria per skuola.net
8 Grafico in dettaglio
1.0
0.5 5 10 15 20
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
Creato da Roberto Caria per skuola.net 9
Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1
1.0
0.5 5 10 15 20
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
Tempo di elaborazione: 2.5463422 s
Creato da Roberto Caria per skuola.net 1
Studio della seguente funzione:
log(x)
y = log(x) 1
-
Generalitá sulla funzione
** **
Funzione ne pari ne dispari
Dominio
** **
Condizioni per determinare il dominio
0
x >
log(x) 1 0
- ≠
Creato da Roberto Caria per skuola.net
2 Dominio della funzione
]0;ⅇ[ ⋃ ]ⅇ;∞[
oppure
= ]0;∞[-{ⅇ}
Grafico del dominio e dello studio del segno
3
2
1 0 1 ⅇ
0
-1
-2
-3 0 1 2 3 4
-2 -1
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