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Svolgimenti Studi di Funzioni Esponenziali
Il file pdf contiene gli svolgimenti di tutti gli esercizi proposti dal libro di testo Matematica.blu 2.0 Vol. 5 (Bergamini, Trifone, Barozzi) per i Licei Scientifici.
Gli svolgimenti sono stati eseguiti dal software on-line per la risoluzione on line di esercizi di matematica (Algebra, Geometria Analitica, Analisi)
Le funzioni presenti sono le seguenti:
f(x) = x^2e^x\\
f(x) = \frac{e^x}{x^3}\\
f(x) = \frac{1}{e^x x}\\
f(x) = e^{2 x} + e^x\\
f(x) = \frac{x^2}{e^{2 x}}\\
f(x) = \frac{1}{e^{x^2}}\\
f(x) = \frac{e^{2x}}{2^x}\\
f(x) = e^x (e^x - 1)\\
f(x) = (x - 1) e^{3 - x}\\
f(x) = \frac{2e^x + 4}{e^x - 1}\\
f(x) = \frac{1 + e^x}{1 - E^{2 x}}\\
f(x) = (x^2 - 1) e^x\\
f(x) = e^{\frac{x - 1}{2x}}\\
f(x) = (x + 2)^2 e^{-x}\\
f(x) = \frac{2e^x}{(x + 1)^2}\\
f(x) = \frac{\sqrt{x}}{e^x}\\
f(x) = xe^{-x^2}\\
f(x) = \frac{x + 2}{e^{x + 3}}\\
f(x) = (x^2 + 4 x + 4) e^{-x}\\
f(x) = (4 - x) (e^x - 1)\\
f(x) = \frac{e^x}{x^2 - 4}\\
f(x) = e^{\frac{x^2 - 1}{2 x}}\\
f(x) = e^x\sqrt[3]{(x - 1)^2}\\
f(x) = e^{\frac{2 x + 1}{x^2 - 2 x + 1}}\\
f(x) = \frac{2 (e^{2 x} - 1)}{e^x}
[/math]
Lo studio di funzione comprende i seguenti studi:
1) Studio del dominio compreso il grafico nel piano cartesiano con lo studio di segno della funzione
2) Limiti e asintoti
3) Punti di discontinuità
4) Studio del segno della derivata prima e crescenz, decrescenza e punti stazionati
5) Ricerca dei punti stazionari con il metodo delle derivate successive
Studio di segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso
Grafico della funzione
5
Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive
3
3 ; ⅇ Minimo relativo
→
27
Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari
x
f ⅇ (x-3)
1
( ) (x) = 4
x 2
x x+12
ⅇ x -6
f 2
( ) (x) = 5
x
Passaggi per determinare i punti stazionari 3
x 3 y 3 0 y 3 ⅇ
(1) (2)
= ( ) = ( ) =
1 81
La funzione non ha punti di non derivabilitá
Creato da Roberto Caria per skuola.net
6 Derivata seconda e punti di flesso
** **
2 6 12
x x
ⅇ x - +
y (2) (x)= 5
x
Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso
0
-∞ ∞
⨯
x
ⅇ ⨯
5
x ⨯
2 6 12
- +
x x ︵ ︶
Lo studio del segno della derivata seconda non restituisce punti di flesso
**********
Se lo studio del segno della derivata seconda é stato restituito in forma semplificata
é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente
per determinare i punti di flesso
**********
Creato da Roberto Caria per skuola.net 7
Grafici della funzione
** **
Grafico panoramico 3
2
1 2 4
-4 -2 -1
-2
Creato da Roberto Caria per skuola.net
8 Grafico in dettaglio
1.5
1.0
0.5 1 2 3 4
-1 -0.5
-1.0
Creato da Roberto Caria per skuola.net 9
Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1
1.5
1.0
0.5 1 2 3 4
-1 -0.5
-1.0
Tempo di elaborazione: 1.7381333 s
Creato da Roberto Caria per skuola.net 1
Studio della seguente funzione:
-x
ⅇ
y = x
Generalitá sulla funzione
** **
Funzione ne pari ne dispari
Dominio
** **
Condizioni per determinare il dominio
0
x ≠
Creato da Roberto Caria per skuola.net
2 Dominio della funzione
]-∞;0[ ⋃ ]0;∞[
oppure
= -{0}
Grafico del dominio e dello studio del segno
3
2
1 0
0
-1
-2
-3 0 1 2
-2 -1
Non ci sono intersezioni con gli assi cartesiani
Creato da Roberto Caria per skuola.net 3
Limiti e asintoti
** **
Limiti
-x
lim ⅇ = -∞
x
x→-∞ -x x 0
lim ⅇ asintoto verticale
= -∞ ⇒ =
x
x→0 - -x x 0
lim ⅇ asintoto verticale
= ∞ ⇒ =
x
x→0 + -x 0 y 0
lim ⅇ asintoto orizzontale
= ⇒ =
x
x→∞
Asintoti
x 0
=
y 0
=
Studio della continuitá
** **
Punti di discontinuitá -x
x lim ⅇ
Discontinuitá di II specie
=0 = -∞
1 x
x→0 - -x
lim ⅇ = ∞
x
x→0 +
f( 0 ) = ∄
Creato da Roberto Caria per skuola.net
4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá
** **
1)
-x
ⅇ (x +
y (1) (x)=- 2
x
Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari
0
-∞ -1 ∞
-1 ⨯
-x
ⅇ ⨯
2
x ⨯
1
+
x ↗ ︵ ↘ ↘
Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima
; Massimo relativo
( -1 -ⅇ ) →
Creato da Roberto Caria per skuola.net 5
Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive
; Massimo relativo
( -1 -ⅇ ) →
Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari
-x
f ⅇ (x+1)
1
( ) (x) = - 2
x
2
-x x+2
ⅇ x +2
f 2
( ) (x) = 3
x
Passaggi per determinare i punti stazionari
x y 0 y
(1) (2)
= -1 ( -1 ) = ( -1 ) = -ⅇ
1
La funzione non ha punti di non derivabilitá
Creato da Roberto Caria per skuola.net
6 Derivata seconda e punti di flesso
** **
2 2 2
-x x
ⅇ x + +
y (2) (x)= 3
x
Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso
0
-∞ ∞
⨯
-x
ⅇ ⨯
3
x ⨯
2 2 2
+ +
x x ︵ ︶
Lo studio del segno della derivata seconda non restituisce punti di flesso
**********
Se lo studio del segno della derivata seconda é stato restituito in forma semplificata
é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente
per determinare i punti di flesso
**********
Creato da Roberto Caria per skuola.net 7
Grafici della funzione
** **
Grafico panoramico 15
10
5 2 4
-4 -2 -5
-10
-15
-20
Creato da Roberto Caria per skuola.net
8 Grafico in dettaglio 1 0.5 1.0
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 -1
-2
-3
Creato da Roberto Caria per skuola.net 9
Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 1 0.5 1.0
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 -1
-2
-3
Creato da Roberto Caria per skuola.net
10
Tempo di elaborazione: 1.7262588 s
Creato da Roberto Caria per skuola.net 1
Studio della seguente funzione
** **
2
y x x
= ⅇ + ⅇ
La funzione si semplifica nel seguente modo:
y 1)
x x
= ⅇ (ⅇ +
Studio della seguente funzione: 2
y x x
= ⅇ + ⅇ
Generalitá sulla funzione
** **
Funzione ne pari ne dispari
Dominio
** **
Non ci sono condizioni da applicare per il calcolo del dominio
Creato da Roberto Caria per skuola.net
2 Dominio della funzione
oppure
= x∈
∀
Grafico del dominio e dello studio del segno
3
2
1 8
-8
0
-1
-2
-3 0 5 10
-10 -5
Intersezioni con gli assi cartesiani
** **
0 ; 2
( )
Creato da Roberto Caria per skuola.net 3
Limiti e asintoti
** **
Limiti 2
lim 0 y 0
x x asintoto orizzontale
ⅇ + ⅇ = ⇒ =
x→-∞ 2
lim x x
ⅇ + ⅇ = ∞
x→∞
Asintoti
y 0
=
Studio della continuitá
** **
La funzione é continua in tutto il suo dominio
Creato da Roberto Caria per skuola.net
4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá
** **
y 1)
x x
(1) (x)=ⅇ (2 ⅇ +
Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari
-∞ ∞
x
ⅇ
2 1
x
ⅇ + ↗
Lo studio del segno della derivata prima non restituisce punti stazionari
**********
Se lo studio del segno é stato restituito in forma semplificata
é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente
per determinare i punti stazionari
**********
Creato da Roberto Caria per skuola.net 5
Il metodo delle derivate successive non restituisce punti stazionari
La funzione non ha punti di non derivabilitá
Creato da Roberto Caria per skuola.net
6 Derivata seconda e punti di flesso
** **
y 1)
x x
(2) (x)=ⅇ (4 ⅇ +
Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso
-∞ ∞
x
ⅇ
4 1
x
ⅇ + ︶
Lo studio del segno della derivata seconda non restituisce punti di flesso
**********
Se lo studio del segno della derivata seconda é stato restituito in forma semplificata
é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente
per determinare i punti di flesso
**********
Creato da Roberto Caria per skuola.net 7
Grafici della funzione
** **
Grafico panoramico 1500
1000
500 2 4
-4 -2
Creato da Roberto Caria per skuola.net
8 Grafico in dettaglio 3
2
1 2 4 6
-6 -4 -2 -1
Creato da Roberto Caria per skuola.net 9
Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 3
2
1 2 4 6
-6 -4 -2 -1
Tempo di elaborazione: 1.3052415 s
Creato da Roberto Caria per skuola.net 1
Studio della seguente funzione: 2
y x
-2 x
= ⅇ
Generalitá sulla funzione
** **
Funzione ne pari ne dispari
Dominio
** **
Non ci sono condizioni da applicare per il calcolo del dominio
Creato da Roberto Caria per skuola.net
2 Dominio della funzione
oppure
= x∈
∀
Grafico del dominio e dello studio del segno
3
2
1 0
0
-1
-2
-3 0 1 2
-2 -1
Intersezioni con gli assi cartesiani
** **
0 ; 0
( )
Creato da Roberto Caria per skuola.net 3
Limiti e asintoti
** **
Limiti 2
lim x
-2 x
ⅇ = ∞
x→-∞ 2 0 y 0
lim x
-2 x asintoto orizzontale
ⅇ = ⇒ =
x→∞
Asintoti
y 0
=
Studio della continuitá
** **
La funzione é continua in tutto il suo dominio
Creato da Roberto Caria per skuola.net
4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá
** **
y 1)
x
(1) -2 x
(x)=-2 ⅇ (x -
Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari
0 1
-∞ ∞
-2
-2 x
ⅇ 1
-
x
x ↘ ︶ ↗ ︵ ↘
Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima
0 ; 0 Minimo relativo
( ) →
1
1 ; Massimo relativo
→
2
ⅇ
Creato da Roberto Caria per skuola.net 5
Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive
0 ; 0 Minimo relativo
( ) →
1
1 ; Massimo relativo
→
2
ⅇ
Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari
f 1)
x
-2
1
( ) x
(x) = -2 ⅇ (x -
2 8 2
f x
-2
2
( ) x x
(x) = ⅇ 4 - +
Passaggi per determinare i punti stazionari
x 0 y 0 0 y 0 2
(1) (2)
= ( ) = ( ) =
1 2
x 1 y 1 0 y 1
(1) (2)
= ( ) = ( ) = -
2 2
ⅇ
La funzione non ha punti di non derivabilitá
Creato da Roberto Caria per skuola.net
6 Derivata seconda e punti di flesso
** **
2
y 4 1
x
(2) -2 x x
(x)=2 ⅇ 2 - +
Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso
1 1
1 1
- +
-∞ ∞
2 2
2 -2 x
ⅇ 2
2 4 1
- +
x x ︶ ︵ ︶
⟷ ⟷
Punti di flesso
1 1 2
1 ; 4 2 -2
- 6 - ⅇ
4
2
1 32 2
; 2
1 -2-
+ ⅇ
+
2
Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso
2
2 -2-
2+ ⅇ
m = -
1 2 2
2 -2
-2 ⅇ
m = -
2 2
Tangenti nei punti di flesso
1 2
t y 2 1 5 2 7
-2 x
= ⅇ 2 - - +
)
1 2
1 2
t y 2 5 2 7
-2- x
= ⅇ -2 1 + + +
)
2 2
Creato da Roberto Caria per skuola.net 7
Grafici della funzione
** **
Grafico panoramico 15 000
10 000
5000 2 4
-4 -2
Creato da Roberto Caria per skuola.net
8 Grafico in dettaglio 1.0
0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
-1.0 -0.5 -0.5
-1.0
Creato da Roberto Caria per skuola.net 9
Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1
1.0
0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
-1.0 -0.5 -0.5
-1.0
Tempo di elaborazione: 1.8824829 s
Creato da Roberto Caria per skuola.net 1
Studio della seguente funzione:
2
y -x
= ⅇ
Generalitá sulla funzione
** **
Funzione pari
Dominio
** **
Non ci sono condizioni da applicare per il calcolo del dominio
Creato da Roberto Caria per skuola.net
2 Dominio della funzione
oppure
= x∈
∀
Grafico del dominio e dello studio del segno
3
2
1 8
-8
0
-1
-2
-3 0 5 10
-10 -5
Intersezioni con gli assi cartesiani
** **
0 ; 1
( )
Creato da Roberto Caria per skuola.net 3
Limiti e asintoti
** **
Limiti 2
lim 0 y 0
-x asintoto orizzontale
ⅇ = ⇒ =
x→-∞ 2 0 y 0
lim -x asintoto orizzontale
ⅇ = ⇒ =
x→∞
Asintoti
y 0
=
Studio della continuitá
** **
La funzione é continua in tutto il suo dominio
Creato da Roberto Caria per skuola.net
4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá
** **
2
y (1) -x x
(x)=-2 ⅇ
Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari
0
-∞ ∞
-2 2
-x
ⅇ
x ↗ ︵ ↘
Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima
0 ; 1 Massimo relativo
( ) →
Creato da Roberto Caria per skuola.net 5
Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive
0 ; 1 Massimo relativo
( ) →
Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari
2
f -x
1
( ) x
(x) = -2 ⅇ
2 2 2
f -x
2
( ) x
(x) = ⅇ 4 -
Passaggi per determinare i punti stazionari
x 0 y 0 0 y 0
(1) (2)
= ( ) = ( ) = -2
1
La funzione non ha punti di non derivabilitá
Creato da Roberto Caria per skuola.net
6 Derivata seconda e punti di flesso
** **
2 2
y 1
(2) -x x
(x)=2 ⅇ 2 -
Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso
1 1
-
-∞ ∞
2 2
2 2
-x
ⅇ 2
2 1
-
x ︶ ︵ ︶
⟷ ⟷
Punti di flesso
1 1
;
-
2 ⅇ
1 1
;
2 ⅇ
Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso
2
m = -
1 ⅇ
2
m =
2 ⅇ
Tangenti nei punti di flesso
2- 2
t y x
=
)
1 ⅇ
2
t y x+2
=
)
2 ⅇ
Creato da Roberto Caria per skuola.net 7
Grafici della funzione
** **
Grafico panoramico 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2 2 4
-4 -2
Creato da Roberto Caria per skuola.net
8 Grafico in dettaglio 2.0
1.5
1.0
0.5 0.5 1.0 1.5
-1.5 -1.0 -0.5 -0.5
-1.0
Creato da Roberto Caria per skuola.net 9
Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 2.0
1.5
1.0
0.5 0.5 1.0 1.5
-1.5 -1.0 -0.5 -0.5
-1.0
Tempo di elaborazione: 1.5309411 s
Creato da Roberto Caria per skuola.net 1
Studio della seguente funzione: 2
y 2 x
-x
= ⅇ
Generalitá sulla funzione
** **
Funzione ne pari ne dispari
Dominio
** **
Non ci sono condizioni da applicare per il calcolo del dominio
Creato da Roberto Caria per skuola.net
2 Dominio della funzione
oppure
= x∈
∀
Grafico del dominio e dello studio del segno
3
2
1 8
-8
0
-1
-2
-3 0 5 10
-10 -5
Intersezioni con gli assi cartesiani
** **
0 ; 1
( )
Creato da Roberto Caria per skuola.net 3
Limiti e asintoti
** **
Limiti 2
lim 2 0 y 0
x
-x asintoto orizzontale
ⅇ = ⇒ =
x→-∞ 2
2
lim x
-x ⅇ = ∞
x→∞
Asintoti
y 0
=
Studio della continuitá
** **
La funzione é continua in tutto il suo dominio
Creato da Roberto Caria per skuola.net
4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá
** **
2
y 2)
x
(1) -x
(x)=-2 ⅇ (log(2) -
Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari
-∞ ∞
-1
-x
2 2 x
ⅇ
log(2) 2
- ↗
Lo studio del segno della derivata prima non restituisce punti stazionari
**********
Se lo studio del segno é stato restituito in forma semplificata
é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente
per determinare i punti stazionari
**********
Creato da Roberto Caria per skuola.net 5
Il metodo delle derivate successive non restituisce punti stazionari
La funzione non ha punti di non derivabilitá
Creato da Roberto Caria per skuola.net
6 Derivata seconda e punti di flesso
** **
2 2
y 2)
x
(2) -x
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