Somme di potenze degli interi positivi consecutivi

POSITIVI CONSECUTIVI

1

GUIDO CAROLLA

Sunto. Si presenta un programma in QBasic ed alcuni esempi con input e output:

esso, fra l’altro ci mostra come sia possibile risolvere l’interessante problema di

calcolo numerico relativo alla somma delle potenze dei numeri positivi consecutivi,

SR,TR e (SR-TR),a partire dall’unità e rispettivamente fino ad N e ad M e loro

differenza, per mezzo di particolari algoritmi, fino alle potenze con esponente R<=4.

Esso utilizza anche la serie con i primi cinque numeri di Bernoulli per il medesimo

calcolo, nel caso di un qualunque R positivo. Inoltre il programma suddetto utilizza

un’altra serie con i coefficienti binomiali di Newton. Infine, i risultati di cui sopra

vengono raffrontati con quelli reali, ottenuti molto semplicemente con un ciclo FOR-

NEXT.

Abstract. The Author presents a Qbasic programme and some examples with data

inputs and outputs: among other things, it shows how we can solve the calculus

problem about the sum of powers of positive consecutive numbers, SR, TR and (SR-

TR), from the unity and respectively to N and to M and to their difference, thanks to

special algorithms, to the powers with exponent R<=4. It makes also use of the series

with the first five Bernoulli numbers for this calculus, in the case of any positive R.

Moreover the afore-mentioned programme uses another series with Newton binomial

coefficients. Finally, the related outputs are put in comparison with the real ones,

easily calculated with a FOR-NEXT loop.

Algoritmi utilizzati nel listato

Si riportano alcuni casi particolari delle somme di potenze degli interi positivi, cioè di

+ + + +

r r r r che, per i valori di r da 1 a 4, sono:

...

1 2 3 n

( ) ( ) ( ) ( )

+ + + + +

n n 1 n n 1 2 n 1 n n 1 n n 1

⋅ ⋅

per r=1 ; per r=2 ; per r=3 ;

2 2 3 2 2

( ) + + −

+ 2

2

n 1 3 3

n 1

n n 1 n 2

⋅ ⋅

per r=4 ; la serie con i numeri di Bernoulli utilizzata é

3 5

2

+ − −

− −

r 1 r 1 r 3

1 r r ( r 1 )( r 2 )

n B n B n

+ + − + 2

1 2 , nella quale la somma termina con

r ... n

n

+

r 1 2 2

! 4

!

oppure con n, secondo che r sia pari o dispari e sono i numeri di Bernoulli, i cui

B k

1 Docente di Matematica in ogni ordine di Scuola e Preside di Istituti superiori a r. Piazza Mazzini n. 24 73100 Lecce

tel. 0832/317045; cell. 3474632979; e-mail: guidocarolla@libero.it 2 4 6

x x B x B x B x

2 = − + − + − < π

1 2 3

I numeri di Bernoulli sono definiti dalla serie: con

, , ,... 1 ... x 2

B B B

1 2 3 −

x 1 2 2 ! 4 ! 6 !

e

2 4 6

x x B x B x B x

+ + +

− = < π

1 2 3 con

...

1 cot x

2

! 4

! 6 !

2 2

primi cinque sono riportati nel listato e nei quattro esempi in output; infine, si riporta

la serie con i coefficienti binomiali, (con r, n interi positivi) e quindi se

+ + +

     

r 1 r 1 r 1 ( ) ( )

+

+ + + +

=   +   + +   = + − +

r 1

r r r r , allora si ha .

... ... n 1 n 1

     

1 2 3 n

S S S S

r 1 2 r

     

1 2 r

Listato del programma in QBasic

CLS : PRINT "Il programma CALCOLA, con particolari algoritmi, SR che è la

SOMMA delle potenze R.sime dei numeri naturali consecutivi,fino ad N,di quelle

fino ad M (TR) e la loro differenza,cioè delle somme fino ad N diminuite di quelle

fino a M (SR-TR) (soltanto per R<=4); CALCOLA con la serie in cui figurano i

numeri di Bernoulli,con ottima approssimazione,le stesse somme e differenze (per il

valore digitato di R>4) e li raffronta con i valori reali,dando di essi anche le somme

parziali di dette potenze. Infine,mette in raffronto i valori ottenuti dalla serie in cui

figurano dei coefficienti binomiali di Newton con quelli,relativi alla stessa serie degli

SR,precedentemente calcolati con un algoritmo."

INPUT "DIGITA R,N,M(<N) "; R, N, M: CLS : PRINT "R="; R, "N="; N, "M="; M

IF R = 1 THEN S1 = N * (N + 1) / 2: PRINT "S1="; S1, : T1 = M * (M + 1) / 2:

PRINT "T1="; T1, : PRINT "S1 - T1="; S1 - T1

IF R = 2 THEN S2 = N * (N + 1) * (2 * N + 1) / 6: PRINT "S2="; S2; : T2 = M * (M

+ 1) * (2 * M + 1) / 6: PRINT "T2="; T2; : PRINT "S2-T2="; S2 - T2

IF R = 3 THEN S3 = (N * (N + 1) / 2) ^ 2: PRINT "S3="; S3; : T3 = (M * (M + 1) /

2) ^ 2: PRINT "T3="; T3; : PRINT "S3-T3="; S3 - T3

IF R = 4 THEN S4 = N * (N + 1) * (2 * N + 1) / 6 * (3 * N ^ 2 + 3 * N - 1) / 5:

PRINT "S4="; S4; : T4 = M * (M + 1) * (2 * M + 1) / 6 * (3 * M ^ 2 + 3 * M - 1) / 5:

PRINT "T4="; T4; : PRINT "S4-T4="; S4 - T4

A = (N + 1) ^ (R + 1) - (N + 1)

PRINT "Per un qualunque valore di R si ha: N^(R+1)/(R+1)+N^R/2+B1*R*N^(R-

1)/2!-B2*R*(R-1)*(R-2)*N^(R-3)/4!+B3*R*(R-1)*(R-2)*(R-3)*(R-4)*N^(R-5)/6!-

...(con B1,B2,B3,...che sono i numeri di Bernoulli,cioè

1/6,1/30,1/42,1/30,5/66,...),che per R="; R; "dà"

E = N ^ (R + 1) / (R + 1) + N ^ R / 2 + 1 / 6 * R * N ^ (R - 1) / 2 - 1 / 30 * R * (R - 1)

* (R - 2) * N ^ (R - 3) / (2 * 3 * 4) + 1 / 42 * R * (R - 1) * (R - 2) * (R - 3) * (R - 4) *

N ^ (R - 5) / (2 * 3 * 4 * 5 * 6)

F = -1 / 30 * R * (R - 1) * (R - 2) * (R - 3) * (R - 4) * (R - 5) * (R - 6) * N ^ (R - 7) /

40320

G = 5 / 66 * R * (R - 1) * (R - 2) * (R - 3) * (R - 4) * (R - 5) * (R - 6) * (R - 7) * (R -

8) * N ^ (R - 9) / 3628800

SR = E + F + G: TR = M ^ (R + 1) / (R + 1) + M ^ R / 2 + 1 / 6 * R * M ^ (R - 1) / 2 -

1 / 30 * R * (R - 1) * (R - 2) * M ^ (R - 3) / 24 + 1 / 42 * R * (R - 1) * (R - 2) * (R -

3) * (R - 4) * M ^ (R - 5) / 720 - 1 / 30 * R * (R - 1) * (R - 2) * (R - 3) * (R - 4) * (R -

5) * (R - 6) * M ^ (R - 7) / 40320 + 5 / 66 * R * (R - 1) * (R - 2) * (R - 3) * (R - 4) *

(R - 5) * (R - 6) * (R - 7) * (R - 8) * M ^ (R - 9) / 3628800

PRINT "S"; R; "="; SR; " T"; R; "="; TR; ", soltanto con l'utilizzo di B1,B2,B3,B4 e

B5", "S"; R; "-T"; R; "="; SR - TR

PRINT "Infatti le somme parziali e la totale fino ad N="; N; "delle potenze di"; R;

"dei numeri naturali consecutivi sono:"

DIM Z(100)

FOR i = 1 TO N

Z(i) = Z(i - 1) + i ^ R: PRINT Z(i); : NEXT i: PRINT "ed il valore reale di S"; R; "Š

proprio"; Z(N); "."

S1 = N * (N + 1) / 2: S2 = N * (N + 1) * (2 * N + 1) / 6: S3 = S1 ^ 2: S4 = S2 * (3 *

N ^ 2 + 3 * N - 1) / 5

PRINT "I valori che seguono sono quelli di SR per R<=4 e di SR per R digitato:":

PRINT "S1 = "; S1, " S2 = "; S2, " S3 = "; S3, " S4 = "; S4, "S"; R; "="; SR

PRINT "Inoltre,se SR=1^R+2^R+...+N^R,dove R ed N sono interi positivi,si ha (R+1

ad 1 ad 1)*S1+(R+1 a 2 a 2)*S2+(R+1 a 3 a 3)*S3+...+(R+1 ad R ad

R)*SR=(N+1)^(R+1)-(N+1)="; : PRINT A; "la cui serie ha significato soltanto se nei

calcoli,ora predisposti rispettivamente per R=1,R=2,R=3,R=4,ci si ferma al termine

R.mo del relativo SR, es. se ci si ferma al primo,al secondo,al terzo ed al quarto

termine si avranno:": R = 1: PRINT (R + 1) * S1; : R = 2: PRINT (R + 1) * S1 + (R +

1) * R / 2 * S2; : R = 3: PRINT (R + 1) * S1 + (R + 1) * R / 2 * S2 + (R + 1) * R * (R

- 1) / (2 * 3) * S3; : R = 4: PRINT (R + 1) * S1 + (R + 1) * R / 2 * S2 + (R + 1) * R *

(R - 1) / (2 * 3) * S3 + (R + 1) * R * (R - 1) * (R - 2) / (2 * 3 * 4) * S4; "uno dei quali

ultimi valori è proprio uguale a quello ottenuto precedentemente per mezzo

dell'algoritmo sopra riportato,soltanto se si è digitato R<=4.":

REM!+...+(R+1)!/R!*SR= (N+1)^(R+1)-(N+1)=; A:PRINT

PRINT "Si noti che,per R=1,quest'ultimo algoritmo è equivalente a 2*S1"

END

Esempi con input output

Il programma CALCOLA, con particolari algoritmi, SR che è la SOMMA delle

potenze R.sime dei numeri naturali consecutivi,fino ad N,di quelle fino ad M (TR) e

la loro differenza,cioè delle somme fino ad N diminuite di quelle fino a M (SR-TR)

(soltanto per R<=4); CALCOLA con la serie in cui figurano i numeri di

Bernoulli,con ottima approssimazione, le stesse somme e differenze (per il valore

digitato anche di R>4) e li raffronta con i valori reali, dando di essi anche le somme

parziali di dette potenze. Infine, mette in raffronto i valori ottenuti dalla serie in cui

figurano dei coefficienti binomiali di Newton con quelli, relativi alla stessa serie degli

SR, bprecedentemente calcolati con un algoritmo.

DIGITA R,N,M(<N) ? 1,18,4

S1= 171, T1= 10, S1 - T1= 161

Per un qualunque valore di R si ha: N^(R+1)/(R+1)+N^R/2+B1*R*N^(R-1)/2!-

B2*R*(R-1)*(R-2)*N^(R-3)/4!+B3*R*(R-1)*(R-2)*(R-3)*(R-4)*N^(R-5)/6!-...(con

B1,B2,B3,... che sono i numeri di Bernoulli,cioè 1/6,1/30,1/42,1/30,5/66,...),che per

R= 1 dà

S 1 = 171.0833 T 1 = 10.08333 , soltanto con l'utilizzo di B1,B2,B3,B4 e B5

S 1 -T 1 = 161

Infatti le somme parziali e la totale fino ad N= 18 delle potenze di 1

dei numeri naturali consecutivi sono:

1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 136 153 171

ed il valore reale di S 1 è proprio 171 .

I valori che seguono sono quelli di SR per R<=4 e di SR per R digitato:

S1 = 171 S2 = 2109 S3 = 29241 S4 = 432345

S 1 = 171.0833

Inoltre,se SR=1^R+2^R+...+N^R,dove R ed N sono interi positivi,si ha (R+1 ad 1 a

d 1)*S1+(R+1 a 2 a 2)*S2+(R+1 a 3 a 3)*S3+...+(R+1 ad R ad R)*SR=(N+1)^(R+1)-

(N+1)= 342

la cui serie ha significato soltanto se nei calcoli,ora predisposti rispettivamente per

R=1,R=2,R=3,R=4,ci si ferma al termine R.mo del relativo SR, es. se ci si ferma al

primo,al secondo,al terzo ed al quarto termine si avranno:

342 6840 130302 2476080

uno dei quali ultimi valori è proprio uguale a quello ottenuto precedentemente per

mezzo dell'algoritmo sopra riportato,soltanto se si è digitato R<=4.

Si noti che,per R=1,quest'ultimo algoritmo è equivalente a 2*S1

Digita R,N,M(<N)?

R= 4 N= 6 M= 2

S4= 2275, T4= 17, S4-T4= 2258

Per un qualunque valore di R si ha: N^(R+1)/(R+1)+N^R/2+B1*R*N^(R-1)/2!-

B2*R*(R-1)*(R-2)*N^(R-3)/4!+B3*R*(R-1)*(R-2)*(R-3)*(R-4)*N^(R-5)/6!-...(con

B1,B2,B3,...che sono i numeri di Bernoulli,cioè 1/6,1/30,1/42,1/30,5/66,...),che per

R= 4 dà

S 4 = 2275 T 4 = 17 , soltanto con l'utilizzo di B1,B2,B3,B4 e B5

S 4 -T 4 = 2258

Infatti le somme parziali e la totale fino ad N= 6 delle potenze di 4

dei numeri naturali consecutivi sono:

1 17 98 354 979 2275 ed il valore reale di S 4 è proprio 2275 .

I valori che seguono sono quelli di SR per R<=4 e di SR per R digitato:

S1 = 21 S2 = 91 S3 = 441 S4 = 2275 S 4 = 2275

Inol