Sistemi lineari a coefficienti in un campo

10. Sistemi lineari a coefficienti in un campo

Un sistema lineare a coefficienti in un campo (ℝ o ℂ) è un sistema di equazioni lineari che può essere espresso sinteticamente nella forma

AX = B,

dove A è la matrice dei coefficienti, di ordine m × n, X è il vettore colonna n × 1 delle incognite e B è il vettore colonna m × 1 dei termini noti. Infatti la scrittura AX = B equivale per definizione a

a₁₁x₁ + ··· + a_1nx_n = b₁,

···

a_m1x₁ + ··· + a_mnx_n = b_m.

Sia f: Kⁿ → K^m l’applicazione lineare rappresentata rispetto alle basi canoniche dalla matrice A; allora risolvere il sistema dato equivale a richiedere che B ∈ Im(f). Osserviamo altresì che se f è biiettiva allora il sistema ha una ed una sola soluzione.

Denotiamo con [A, B] la matrice ottenuta da A aggiungendo la colonna B dei termini noti; tale matrice sarà quindi una matrice m × (n + 1).

B ∈ Im(f) se e solo se r(A) = r([A, B]).

Teorema di Rouché-Capelli

Dimostrazione. Se le colonne di A sono generatori per Im(f) e dunque se B ∈ Im(f), allora B è combinazione lineare delle colonne di A e dunque r(A) = r([A, B]) per definizione. Viceversa se r(A) = r([A, B]) allora B sarà combinazione lineare di p colonne di A, ma allora anche delle colonne di A, e dunque B ∈ Im(f).

Nel seguito denoteremo anche con [A₁, . . . , A_n] la matrice che ha per colonne i vettori colonna A₁, . . . , A_n. Nel caso particolare del sistema quadrato si ha esistenza ed unicità della soluzione se e solo se det A ≠ 0, che costituisce il Teorema di Cramer.

Infatti da AX = B con A invertibile si ha X = A⁻¹B, da cui si trova facilmente

x_i = det[A₁, . . . , A_i−1, B, A_i+1, . . . , A_n] / det A,

essendo x_i la i-esima entrata del vettore X.

Supponiamo di avere una soluzione particolare Z del sistema AX = B; allora dal momento che il sistema è lineare tutte le soluzioni del sistema sono date da

X = X̄ + Z,

dove X̄ è la generica soluzione del sistema AX̄ = 0. Infatti si ha

AX = AX̄ + AZ = 0 + AZ = B.

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