Sistemi lineari a coefficienti in un campo

10 Sistemi lineari a coefficienti in un campo

Un sistema lineare a coefficienti in un campo (R o è un sistema di equazioni

K C)

lineari che può essere espresso sinteticamente nella forma

AX = B ×

dove A è la matrice dei coefficienti, in di ordine m n, X è il vettore colonna

K,

× ×

n 1 delle incognite e B è il vettore colonna m 1 dei termini noti. Infatti la

scrittura AX = B equivale per definizione a

 · · ·

a x + + a x = b

11 1 1n n 1

 ...

· · ·

a x + + a x = b .

 m1 1 mn n m

n m

→

Sia f : l’applicazione lineare rappresentata rispetto alle basi canon-

K K ∈

iche dalla matrice A; allora risolvere il sistema dato equivale a richiedere che B

Im(f ). Osserviamo altresı̀ che se f è biiettiva allora il sistema ha una ed una sola

soluzione.

Denotiamo con [A, B] la matrice ottenuta da A aggiungendo la colonna B dei ter-

×

mini noti; tale matrice sarà quindi una matrice m (n + 1).

∈

B Im(f ) se e solo se r(A) = r([A, B]).

Teorema (Rouché−Capelli). ∈

Dimostrazione. Se le colonne di A sono generatori per Im(f ) e dunque se B

Im(f ) allora B è combinazione lineare delle colonne di A e dunque r(A) = r([A, B])

per definizione. Viceversa se r(A) = r([A, B]) allora B sarà combinazione lineare

∈

di p colonne di A, ma allora anche delle colonne di A, e dunque B Im(f ).

Nel seguito denoteremo anche con [A , . . . , A ] la matrice che ha per colonne i vet-

1 n

tori colonna A , . . . , A . Nel caso particolare del sistema quadrato si ha esistenza

1 n 6

ed unicità della soluzione se e solo se det A = 0, che costituisce il Teorema di

−1

Infatti da AX = B con A invertibile si ha X = A B, da cui si trova

Cramer.

facilmente det[A , . . . , A , B, A . . . , A ]

1 i−1 i+1 n

x =

i det A

essendo x la i-esima entrata del vettore X.

i

Supponiamo di avere una soluzione particolare Z del sistema AX = B; allora

dal momento che il sistema è lineare tutte le soluzioni del sistema sono date da

X = X̄ + Z

dove X̄ è la generica soluzione del sistema AX̄ = 0. Infatti si ha

AX = AX̄ + AZ = 0 + AZ = B.

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