Punti di discontinuità - Funzioni razionali fratte

Studio dei punti di discontinuità delle Funzioni Razionali Fratte

Definizioni

Una funzione f(x) si dice continua in c se:

In particolare devono essere verificate le seguenti 3 condizioni_

1. [math]c \in D_f[/math]
   (il punto c deve appartenere al dominio di f)
   
2. [math]\lim_{x\rightarrow c^-}{f(x)} = \lim_{x\rightarrow c^+}{f(x)} = l[/math]
   (i limiti sinistro e destro devono essere entrambi finiti e coincidere)
   
3. [math]f(c)=l[/math]
   (il valore della funzione in c deve coincidere con il limite l)
   

Se qualcuna delle condizioni precedenti non è verificata allora si dice che c è un punto di discontinuità

Si hanno 3 specie di punti di discontinuità

1. Discontinuità di I spacie

   
   

   [math]\lim_{x\rightarrow c^-}{f(x)} = l_1[/math]
   
   
   [math]\lim_{x\rightarrow c^+}{f(x)} = l_2[/math]
   
   
   [math]l_1 \neq l_2[/math]
   
   Cioè i limiti sinistro e destro sono entrambi finiti ma diversi tra loro
   In questo vaso si definisce il salto della funzione la differenza tra i limiti
   [math]salto=l_2-l_1[/math]

   
   

2. Discontinuità di II specie
   Almeno uno dei due limiti (sinistro o destro) o non esiste o è infinito
   
   
3. Discontinuità di III specie
   I due limiti sinistro e destro sono entrambi finiti, coincidono fra di loro ma o la funzione non è definita in c oppure
   [math]f(c) \neq l[/math]

Nelle funzioni razionali fratte si possono avere le seguenti situazioni:

1. Il valore c annulla il denominatore ma non il numeratore
   
   • c sarà un punto di discontinuità di II specie e in particolare in c la funzione avrà un asintoto verticale
     
2. c annulla sia il numeratore che il denomiantore; si possono avere allora le seguenti situazioni:
   
   • c è una radice con molteplicità del numeratore maqgiore o uguale alla molteplicità del denominatore
     
     • c sarà una discontinuità di III specie
       
   • c è una radice con molteplicità del numeratore minore della molteplicità del denominatore
     
     • c sarà una discontinuità di II specie e in c la funzione avrà un asintoto verticale
       

Negli esercizi allegati per la risoluzione si scompongono sia il numeratore che il denominatore per effettuare la semplificazione e quindi stabilire il tipo di discontinuità

1. [math]f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+x-12}[/math]
   
   
   In questo caso il denominatore si annulla per i valori 3 e -4 ma il numeratore no quindi si hanno discontinuità di II specie (vedi calcoli allegati)
   
2. [math]f(x) = \frac{x^2-4x+3}{x^2+x-12}[/math]
   
   In questo caso una radice del denominatore è anche radice del numeratore (x=3) e quindi 3 sarà una discontinuità di II specie mentre -4 è una radice solo del denominatore, quindi in -4 ci sarà una discontinuità di II specie (vedi calcoli allegati)