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Punti di discontinuità - Funzioni razionali fratte scaricato 3 volte

Studio dei punti di discontinuità delle Funzioni Razionali Fratte

Definizioni


Una funzione f(x) si dice continua in c se:
[math]\lim_{x\to c}{f(x)}=f(c)[/math]

In particolare devono essere verificate le seguenti 3 condizioni_
  1. [math]c \in D_f[/math]
    (il punto c deve appartenere al dominio di f)
  2. [math]\lim_{x\rightarrow c^-}{f(x)} = \lim_{x\rightarrow c^+}{f(x)} = l[/math]
    (i limiti sinistro e destro devono essere entrambi finiti e coincidere)
  3. [math]f(c)=l[/math]
    (il valore della funzione in c deve coincidere con il limite l)

Se qualcuna delle condizioni precedenti non è verificata allora si dice che c è un punto di discontinuità

Si hanno 3 specie di punti di discontinuità

  1. Discontinuità di I spacie


    [math]\lim_{x\rightarrow c^-}{f(x)} = l_1[/math]

    [math]\lim_{x\rightarrow c^+}{f(x)} = l_2[/math]

    [math]l_1 \neq l_2[/math]

    Cioè i limiti sinistro e destro sono entrambi finiti ma diversi tra loro
    In questo vaso si definisce il salto della funzione la differenza tra i limiti
    [math]salto=l_2-l_1[/math]


  2. Discontinuità di II specie
    Almeno uno dei due limiti (sinistro o destro) o non esiste o è infinito

  3. Discontinuità di III specie
    I due limiti sinistro e destro sono entrambi finiti, coincidono fra di loro ma o la funzione non è definita in c oppure
    [math]f(c) \neq l[/math]

Studio delle discontinuità nelle funzioni razionali fratte

Nelle funzioni razionali fratte si possono avere le seguenti situazioni:
  1. Il valore c annulla il denominatore ma non il numeratore
    • c sarà un punto di discontinuità di II specie e in particolare in c la funzione avrà un asintoto verticale
  2. c annulla sia il numeratore che il denomiantore; si possono avere allora le seguenti situazioni:
    • c è una radice con molteplicità del numeratore maqgiore o uguale alla molteplicità del denominatore
      • c sarà una discontinuità di III specie
    • c è una radice con molteplicità del numeratore minore della molteplicità del denominatore
      • c sarà una discontinuità di II specie e in c la funzione avrà un asintoto verticale

Negli esercizi allegati per la risoluzione si scompongono sia il numeratore che il denominatore per effettuare la semplificazione e quindi stabilire il tipo di discontinuità
  1. [math]f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+x-12}[/math]

    In questo caso il denominatore si annulla per i valori 3 e -4 ma il numeratore no quindi si hanno discontinuità di II specie (vedi calcoli allegati)
  2. [math]f(x) = \frac{x^2-4x+3}{x^2+x-12}[/math]

    In questo caso una radice del denominatore è anche radice del numeratore (x=3) e quindi 3 sarà una discontinuità di II specie mentre -4 è una radice solo del denominatore, quindi in -4 ci sarà una discontinuità di II specie (vedi calcoli allegati)
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