Punti di discontinuità - Funzioni razionali fratte

Studio dei punti di discontinuità delle Funzioni Razionali Fratte

Definizioni

1. 
   
   [math]c \in D_f[/math]
   (il punto c deve appartenere al dominio di f)
   


2. 
   
   [math]\lim_{x\rightarrow c^-}{f(x)} = \lim_{x\rightarrow c^+}{f(x)} = l[/math]
   (i limiti sinistro e destro devono essere entrambi finiti e coincidere)
   


3. 
   
   [math]f(c)=l[/math]
   (il valore della funzione in c deve coincidere con il limite l)
   

1. 
   Discontinuità di I spacie
   
   
   
   [math]\lim_{x\rightarrow c^-}{f(x)} = l_1[/math]
   
   
   
   [math]\lim_{x\rightarrow c^+}{f(x)} = l_2[/math]
   
   
   
   [math]l_1 \neq l_2[/math]
   
   
   Cioè i limiti sinistro e destro sono entrambi finiti ma diversi tra loro
   In questo vaso si definisce il salto della funzione la differenza tra i limiti
   [math]salto=l_2-l_1[/math]
   
   





2. 
   Discontinuità di II specie
   Almeno uno dei due limiti (sinistro o destro) o non esiste o è infinito
   



3. 
   Discontinuità di III specie
   I due limiti sinistro e destro sono entrambi finiti, coincidono fra di loro ma o la funzione non è definita in c oppure
   [math]f(c) \neq l[/math]
   
   

1. 
   Il valore c annulla il denominatore ma non il numeratore
   
   
   
   • 
     c sarà un punto di discontinuità di II specie e in particolare in c la funzione avrà un asintoto verticale
     
   
   
   
   


2. 
   c annulla sia il numeratore che il denomiantore; si possono avere allora le seguenti situazioni:
   
   
   
   • 
     c è una radice con molteplicità del numeratore maqgiore o uguale alla molteplicità del denominatore
     
     
     
     • 
       c sarà una discontinuità di III specie
       
     
     
     
     
   
   
   • 
     c è una radice con molteplicità del numeratore minore della molteplicità del denominatore
     
     
     
     • 
       c sarà una discontinuità di II specie e in c la funzione avrà un asintoto verticale
       
     
     
     
     
   
   
   
   

1. 
   
   [math]f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+x-12}[/math]
   
   
   In questo caso il denominatore si annulla per i valori 3 e -4 ma il numeratore no quindi si hanno discontinuità di II specie (vedi calcoli allegati)
   


2. 
   
   [math]f(x) = \frac{x^2-4x+3}{x^2+x-12}[/math]
   
   
   In questo caso una radice del denominatore è anche radice del numeratore (x=3) e quindi 3 sarà una discontinuità di II specie mentre -4 è una radice solo del denominatore, quindi in -4 ci sarà una discontinuità di II specie (vedi calcoli allegati)