Logaritmi, definizioni, appunti, esercizi

Un modo molto usato di abbreviare “logaritmo naturale” è quello di scrivere ln.

Ad esempio ln 3 = log 3 . Il numero e è molto importante in matematica e viene definito come

e

n

⎛ ⎞

1

+

⎜ ⎟

lim 1

⎝ ⎠

→ ∞ n

n

Se ad esempio si prova a calcolare il valore della successione si ottiene:

per n =100: 2,7048

n= 100000: 2,71826

n = 1000000: 2,7182805 etc.

Bene, si dimostra che la successione converge, e converge a un numero

che è stato battezzato e (dal nome del famoso matematico Eulero).

x

La funzione y = e , che è una funzione esponenziale ha una

proprietà molto interessante: la retta tangente alla curva in qualunque

punto ha coefficiente angolare che è uguale al valore della funzione in

quel punto.

x per x=0 vale 1 ; allora nel punto P ( 0,1) la retta tangente

Ad es. e ⋅

alla curva ha equazione : y-1 = 1 x cioè : y = x+1.

x vale : e ; nel punto Q (1;e) la retta tangente

Per x = 1 la funzione e

ha equazione : y-e = e ( x-1). Tutto questo dipende dal fatto che la

x x

è ancora e ; anzi è l'unica

derivata della funzione : y = e www.matematicamente.it

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funzione la cui derivata è uguale alla funzione stessa.

L'interpretazione geometrica della derivata di una funzione f(x)

è infatti questa: essa rappresenta il valore del coefficiente angolare

della retta tangente in quel punto alla curva avente per equazione : y = f(x).

logaritmica e curva logaritmica

Funzione

La funzione y = log x (0<a diverso da 1, x>0), che dà il logaritmo della variabile x, si

a

logaritmica e il grafico corrispondente curva logaritmica.

chiama funzione

Il grafico in blu rappresenta la funzione sopraccitata con a>1, quello in rosso con

0<a<1.

In accordo con quando detto sulle potenze dei numeri reali positivi e osservando i

grafici suddetti si può affermare che:

a) lo 0 e i numeri negativi non hanno logaritmi reali, qualunque sia la base reale a

(positiva).

Es: log 0: non esiste; log -10: non esiste (in qualunque base)

b) il logaritmo della base è 1, qualunque sia la base.

1

a = 1 perché a = a

Es: log

a

c) il logaritmo di 1 è 0 in qualsiasi base.

0

1 = 0 perché a = 1

Es: log

a + ∞ , il logaritmo di x cresce continuamente da

d) base a > 1: al crescere di x da 0 a

+ ∞

− ∞ a e si mantiene negativo per x<1, è positivo per x > 1 ed è nullo per x = 1.

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+ ∞

e) base 0 < a <1: al crescere di x da 0 a , il logaritmo di x decresce continuamente

+ ∞ − ∞

a e si mantiene positivo per x < 1, è negativo per x > 1 ed è nullo per

da

x = 1. dei logaritmi : derivano dalle proprietà delle potenze.

Proprietà

logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori.

I) Il

Per semplicità consideriamo solo due fattori, ma la proprietà vale per un numero

qualunque di fattori:

⋅

(m n) = log m + log n

Log

a a a

Infatti se indichiamo con x, y rispettivamente i logaritmi in base a di m, n, si ha per

definizione:

x y

= m a = n moltiplicando membro a membro:

a ⋅

x+y = m n da cui sempre per definizione si ottiene:

a ⋅

(m n) = log m + log n

x + y = log a a a

Questa uguaglianza letta da destra verso sinistra significa che la somma dei logaritmi di

più numeri è uguale al logaritmo del loro prodotto.

⋅ ⋅ ⋅

5 7) = log 3 + log 5 + log 7 ; log 2 + log 17 = log (2 17) = log 34

Es: log (3

logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza fra il logaritmo del

II) Il e quello del divisore

dividendo

m

log = log m – log n

a a a

n

Infatti se indichiamo con x, y rispettivamente i logaritmi in base a di m e n, è per

definizione:

x y

= m a = n e dividendo membro a membro:

a m m

x-y = da cui: log = x-y = log m – log n

a a a a

n n

Questa uguaglianza letta da destra verso sinistra dice che la differenza tra i logaritmi di

due numeri è uguale al logaritmo del quoziente del primo per il secondo.

In particolare si ha:

1 = log 1 - log m = - log m

log m www.matematicamente.it

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Cioè: i logaritmi di due numeri inversi l’uno dell’altro hanno uguale valore assoluto e

segno opposto.

Esempi:

5 3 4

= log 5 - log 27 ; log = - log ;

log 27 4 3 ⎛ ⎞

7 35

⋅ ⋅

⎜ ⎟

log 5 + log 7 - log 2 = log (5 7) - log 2 = log = log ;

5

⎝ ⎠ 2

2 ⋅

log 6 - log 11 - log 23 = log 6 - (log 11 + log 23) = log 6 - log(11 23) =

⎛ ⎞

6 ⋅

⎜ ⎟

log 23

⎝ ⎠

11

III) Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo

base:

della ⋅

n

log m = n log m

a a

Infatti, indicato con x il logaritmo di m nella base a, è per definizione:

x = m ed elevando entrambi i membri all’esponente n si ottiene:

a nx n

= m da cui

a ⋅ ⋅

n

m = n x = n log m

log

a a

Questa uguaglianza letta da destra verso sinistra dice che il prodotto di un numero per il

logaritmo di un altro è uguale al logaritmo della potenza che ha per base il secondo

numero e per esponente il primo.

Esempi: ⋅

2

5 = 2 log 5

log

a a

5

⎛ ⎞

3 3

⋅ ⋅

⎜ ⎟ = 5 log = 5 (log 3 - log 7)

log

a a a a

⎝ ⎠ 7

7

× 4

4 log 2 = log 2 = log 16

a a a

2

5 ⋅ ⋅

2 2

5 - log 11 = 2 log 5 - 2 log 11

log = log

a a a a a

2

11 ⎛ ⎞

⋅

2 2

9 3 9

⋅ 2 ⎜ ⎟

2 log 9+log 3 –log 6 = log 9 +log 3 –log 6 = log = log

a a a a a a a a

⋅

⎝ ⎠

2 3 2

Poiché i teoremi sulle potenze valgono per esponenti reali qualsiasi, il teorema

1

1 p

p

m = m :

( con p intero positivo ) dà, essendo

precedente per n = p www.matematicamente.it

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1

p

log m = m

log

a a

p

cioè il logaritmo di un radicale è uguale al quoziente fra il logaritmo del radicando

m e l’indice p della radice.

Inversamente il quoziente, per un numero intero, del logaritmo di un altro numero è

uguale al logaritmo di un radicale avente per indice il primo numero e per radicando il

secondo. 1 1

3

5 = log 5 ; log 5 = log 5

Esempi : log a a a a

2 3

1 1 1

⋅ 5

(log 2 +log 3) = log (2 3) = log 6 = log 6

a a a a a

5 5 5

Applichiamo i teoremi sopra enunciati al calcolo dei logaritmi delle seguenti

espressioni:

⋅ ⋅ ⋅

3 2

2 d b c ⋅ ⋅ ⋅

3 2 2 2

= log |2 d b c | – log (d +b ) =

log

a a a

+

2 2

d b 1 2 2

log 2 + 3 log d + 2 log b + log c-log (d +b )

a a a a a

2

Calcolare la seguente espressione :

)

( 1 1

⋅ ⋅ ⋅

2

3 3

4 2 2 = log 2 +log 2 2 = 2log 2+ (log 2 + log 2) =

log

2 2 2 2 2 2

3 2

⎛ ⎞

1 1

1 3 5

⋅ ⋅

+

⎜ ⎟ = 2+ =

2+ 1

⎝ ⎠

3 3

2 2 2

Ricapitolando, in base ai teoremi fondamentali sopra riportati, è possibile,mediante i

logaritmi, calcolare il valore di un prodotto, di un quoziente, di una potenza, di una

radice, rispettivamente mediante una somma, una sottrazione , una moltiplicazione, una

divisione.

Passaggio da un sistema di logaritmi in base a ad un altro in base b ( cambiamento

di base )

Molte volte occorre conoscere il logaritmo y di un numero N in una base a,

conoscendone quello x in base b e viceversa .

Per definizione si ha :

N e x= log N

y = log

a b

quindi ne consegue :

y x

= N e b = N e pertanto :

a www.matematicamente.it

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y x

= b e prendendo i logaritmi in base b di entrambi i membri si ottiene:

a 1

a = x da cui : y = x e prendendo invece i logaritmi in base a si ottiene :

y log b log a

b

1

y = x log b da cui : x = y

a log b

a

1 1

Il fattore ( e similmente ) si chiama modulo di trasformazione per il

log a log b

b a

passaggio dal sistema di logaritmi a base b al sistema di logaritmi a base a e dipende

esclusivamente dalle due basi a, b.

1 si ottiene :

Pertanto se si pone M = log a

b

⋅

log N = M log N

a b

che si può enunciare : il logaritmo di un numero qualunque a base a è uguale al prodotto

del modulo di trasformazione per il logaritmo dello stesso numero a base b.

Esempio : supponiamo di conoscere il logaritmo in base 5 di tutti i numeri ; si ha allora

1

⋅

12 = log 12 e con questa formula si ottengono i logaritmi di tutti i numeri in

log

3 5 log 3

5

base 3.

Tavole logaritmiche

Queste tavole danno per ogni numero (ad es. da 1 a 10000 oppure da 1 a 100000) il logaritmo in

base 10, e erano molto usate per semplificare ed accelerare il calcolo di espressioni monomie anche

complicate, sfruttando il fatto che il logaritmo del prodotto di n fattori numerici è uguale alla

somma dei logaritmi dei fattori : pertanto un prodotto veniva ridotto a una somma ( un quoziente a

una differenza ).

Naturalmente le tavole erano usate anche per il processo inverso : passare dal logaritmo

al numero e ottenere così il numero cercato.

Oggigiorno la grande diffusione di “pocket calculators” assai potenti nonché

ovviamente di PC potentissimi, ha, per la fortuna degli utilizzatori, cancellato la

necessità di usare le tavole dei logaritmi per svolgere calcoli, che vengono agevolmente

eseguiti dai calcolatori sopra citati.

Solo un semplice esempio : calcolare manualmente il valore dell’espressione:

⋅

5 4

1, 2 793

7 ⋅

5260 9834 www.matematicamente.it

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Oggi il calcolo viene svolto facilmente con un pocket calculator: quando non

e