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Funzioni reali di due variabili reali


1. Definizione di funzione reale di due variabili reali

Una funzione reale di due variabili reali è una relazione che associa ad ogni coppia di valori reali (x;y) uno e un solo valore z. in simboli:
z = f(x;y)
Le variabili x e y sono variabili indipendenti; la variabile z è variabile dipendente, in quanto il suo valore dipende da x e y.
La rappresentazione grafica di una funzione di due variabili è una superficie nello spazio a tre dimensioni. Ogni punto della superficie ha tre coordinate: x (ascissa), y (ordinata), z (zona).


2. Dominio di una funzione reale di due variabili reali

Il dominio di una funzione di due variabili è l'insieme delle coppie di valori che possono essere attribuiti alle variabili x e y, cioè è un sottoinsieme del prodotto cartesiano RXR = R2

La ricerca del dominio di una funzione di due variabili segue le stesse regole della ricerca del dominio di una funzione di una variabile.
Nel caso di una funzione intera, le due variabili possono assumere tutti i valori reali, quindi il dominio è D = RXR = R2 .
Nel caso di una funzione frazionaria, bisogna escludere i valori di x e y che annullano il denominatore.
Nel caso di una funzione irrazionale, con indice n=2, bisogna porre il radicando positivo o nullo (maggiore o uguale a 0).
La rappresentazione grafica del dominio di una funzione di due variabili può essere o tutto il piano xOy o una parte di esso.
Nel caso di una funzione intera, il dominio è tutto il piano xOy.
Nel caso di una funzione frazionaria, il dominio è tutto il piano xOy tranne la linea (retta o curva che annulla il denominatore.
Nel caso di una funzione irrazionale (con n=2), il dominio è dato dalla parte di piano corrispondente alla rappresentazione grafica della disequazione che rende positivo o nullo il radicando.


3. Linee di livello

Come già detto, la rappresentazione grafica di una funzione di due variabili z=f(x;y) è una superficie nello spazio a tre dimensioni. Se la funzione è lineare, cioè del tipo z=ax+by+c, la rappresentazione è una superficie piana. In ogni caso, non è sempre facile fare una rappresentazione tridimensionale, anche supponendo di individuare l'andamento della superficie. Il metodo delle linee di livello viene utilizzato appunto per agevolare la rappresentazione delle funzioni di due variabili.
Il metodo consiste nel sezionare la superficie con tanti piani di equazione z=k (e quindi paralleli al piano xOy) ottenendo così altrettante curve, ciascuna delle quali rappresenta la funzione ad una certa quota z. Le curve così ottenute dall'intersezione della superficie con i piani z=k vengono poi proiettate ortogonalmente nel piano xOy, indicando il valore di z corrispondente a ciascuna di esse. Le proiezioni di tali curve costituiscono le linee di livello.

Grazie al metodo delle linee di livello, è possibile capire l'andamento della superficie attraverso una rappresentazione nel piano. Ad esempio, supponiamo che le linee di livello diano origine a delle circonferenze concentriche. Leggendo sul piano xOy i valori di z procedendo dall'esterno verso l'interno, vediamo che:

- se i valori di z crescono, significa che la superficie è crescente verso l'interno (simile ad una montagna);
se i valori di z decrescono, significa che la superficie è decrescente verso l'interno (simile a una conca).
Dal punto di vista operativo, per determinare le linee di livello di una funzione di due variabili, è necessario attribuire alla variabile z alcuni valori (z=k) e, per ognuno di essi, studiare la funzione che ne deriva.

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