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Funzioni reali

Definizione di funzione

Siano

[math]A[/math]
e
[math]B[/math]
due insiemi non vuoti.
Si dice funzione (o applicazione) definita in
[math]A[/math]
e a valori in
[math]B[/math]
, una legge
[math]f:A \rightarrow B[/math]
che ad ogni elemento di
[math]A[/math]
associa uno e un solo elemento di
[math]B[/math]
.
In questo caso, l’insieme
[math]A[/math]
costituisce il dominio della funzione
[math]f[/math]
, l’insieme
[math]B[/math]
il codominio.
Si definisce immagine della funzione
[math]f[/math]
il sottoinsieme di
[math]B[/math]
(al più coincidente con
[math]B[/math]
) i cui elementi (detti immagini) sono associati agli elementi dell’insieme
[math]A[/math]
(detti controimmagini o preimmagini) attraverso
[math]f[/math]
.


Funzione inversa

Sia

[math]f:A \rightarrow B[/math]
una generica funzione definita nell’insieme
[math]A[/math]
e a valori in
[math]B[/math]
.
Si definisce inversa della funzione
[math]f[/math]
la funzione
[math]f^{-1}: B \rightarrow A[/math]
definita in
[math]B[/math]
e a valori in
[math]A[/math]
, tale che:


[math]f(f^{-1}(b)) = b \forall b \in B[/math]

[math]f^{-1}(f(a)) = a \forall a \in A[/math]

NOTA: le funzioni che ammettono la definizione dell’inversa si dicono invertibili e non tutte lo sono.

Composizione di funzioni

Siano

[math]f:A \rightarrow B[/math]
e
[math]g:B \rightarrow C[/math]
due generiche funzioni, l’una definita in
[math]A[/math]
e a valori in
[math]B[/math]
, l’altra definita in
[math]B[/math]
e a valori in
[math]C[/math]
.
Si dice composta di
[math]f[/math]
e
[math]g[/math]
la funzione così definita:


[math](g \cdot f) = g[f(a)] \forall a \in A[/math]

Essa è ottenuta a partire da

[math]f(x)[/math]
(detta funzione interna), applicando a quest’ultima la funzione
[math]g[/math]
(funzione esterna)
Perché due funzioni siano componibili è necessario che il dominio della funzione esterna coincida con l’immagine della funzione interna.

Classificazione insiemistica delle funzioni

Sia

[math]f: A \rightarrow B[/math]
una generica funzione definita in
[math]A[/math]
e a valori in
[math]B[/math]
.
La funzione
[math]f[/math]
è iniettiva se e solo se ad elementi distinti del dominio
[math]A[/math]
associa elementi distinti del codominio
[math]B[/math]
, cioè se è tale che:


[math]\forall a_1, a_2 \in A \text{ con } a_1 \neq a_2, f(a_1) \neq f(a_2)[/math]

La funzione

[math]f[/math]
è suriettiva se e solo se la sua immagine coincide con il codominio
[math]B[/math]
, cioè se:


[math]\forall b \in B \exists a \in A | f(a) = b[/math]

La funzione

[math]f[/math]
è biiettiva o biunivoca se è sia iniettiva, sia suriettiva.
NOTA: le funzioni biunivoche sono le sole invertibili.

Rappresentazione grafica delle funzioni

Sia

[math]f:A \rightarrow B[/math]
una funzione definita in
[math]A[/math]
e a valori in
[math]B[/math]
, con
[math]A, B \in \textbf{R}[/math]
.
Costituisce il grafico della funzione
[math]f[/math]
l’insieme
[math]G[/math]
delle coppie ordinate
[math](a,b)[/math]
così definito:


[math]G = \{(a,b) \in R^2 | a \in A, b = f(a) \}[/math]

Nella rappresentazione cartesiana di tale grafico, si considerano due rette orientate perpendicolari dette assi (l’una ascissa, l’altra ordinata), che si intersecano in un punto

[math]O[/math]
detto origine degli assi. Fissata una direzione positiva delle rette ed un’unità di misura, ogni valore della funzione
[math]f[/math]
da rappresentare corrisponde a un punto
[math](a,b)[/math]
la cui distanza lungo l’asse delle ascisse corrisponde alla lunghezza del segmento
[math]Oa[/math]
e lungo l’asse delle ordinate alla lunghezza del segmento
[math]Ob[/math]
.

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