Funzioni Razionali fratte - Esercizi

1

Studio della seguente funzione: 2

2 4

x -

y = 3

x

Generalitá sulla funzione

** **

Funzione dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

0

x ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;0[ ⋃ ]0;∞[

oppure

 = -{0}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0 2

0

-1

-2

-3 0 1 2 3 4

-2 -1

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

; 0 2 ; 0

( -2 ) ( )

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 2

2

x -4

lim y x asintoto obliquo

= -∞ ⇒ =

3

x

x→-∞ 2

2

x -4 x 0

lim asintoto verticale

= -∞ ⇒ =

3

x

x→0 - 2

2

x -4 x 0

lim asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

3

x

x→0 + 2

2

x -4 y

lim x asintoto obliquo

= ∞ ⇒ =

3

x

x→∞

Asintoti

y x

=

x 0

=

Studio della continuitá

** **

Punti di discontinuitá 2

2

x -4

x lim

Discontinuitá di II specie

=0 = -∞

1 3

x

x→0 - 2

2

x -4

lim = ∞

3

x

x→0 +

f( 0 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

2

2) 2) 12

(x - (x + x +

y (1) (x)= 4

x

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0 2

-∞ -2 ∞

2

-

x ⨯

4

x ⨯

2

+

x ⨯

2 12

+

x ↗ ︵ ↘ ↘ ︶ ↗

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

; 0 Massimo relativo

( -2 ) →

2 ; 0 Minimo relativo

( ) →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

; 0 Massimo relativo

( -2 ) →

2 ; 0 Minimo relativo

( ) →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

48 8

f 1

1

( ) (x) = - + +

4 2

x x

2

16 x -12

f 2

( ) (x) = - 5

x

Passaggi per determinare i punti stazionari

x y 0 y

(1) (2)

= -2 ( -2 ) = ( -2 ) = -4

1 2 y 2 0 y 2 4

x (1) (2)

= ( ) = ( ) =

2

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

2

16 12

x -

y (2) (x)=- 5

x

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

0

-∞ ∞

3 2 3

-2

-16 ⨯

5

x 2 12

-

x ︶ ︵ ︶ ︵

⟷ ⟷

Punti di flesso 8

3 ;

-2 -

 

3

3

8

3 ;

2 

 3

3

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

4

m =

1 3

Tangenti nei punti di flesso

49

t y 3 3 x

= - 4 -

)

1

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 10

5 2 4

-4 -2 -5

-10

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 2

1 2 4

-4 -2 -1

-2

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 2

1 2 4

-4 -2 -1

-2

Tempo di elaborazione: 1.2047945 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione

** **

3

2 x)

(3 -

y = 2

2)

(x -

La funzione si semplifica nel seguente modo:

3

2 3)

(x -

y =- 2

2)

(x -

Studio della seguente funzione: 3

2 x)

(3 -

y = 2

2)

(x -

Generalitá sulla funzione

** **

Funzione ne pari ne dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

2 0

x - ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;2[ ⋃ ]2;∞[

oppure

 = -{2}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 2 3

0

-1

-2

-3 0 1 2 3 4 5

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

27

0 ; 3 ; 0

  ( )

2

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 3

2

lim y 10 2

(3-x) x asintoto obliquo

= ∞ ⇒ = -

2

(x-2)

x→-∞ 3

2 x 2

lim (3-x) asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

2

(x-2)

x→2 - 3

2 x 2

lim (3-x) asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

2

(x-2)

x→2 + 3

2 y 10 2

lim (3-x) x asintoto obliquo

= -∞ ⇒ = -

2

(x-2)

x→∞

Asintoti

y 10 2 x

= -

x 2

=

Studio della continuitá

** **

Punti di discontinuitá 3

2

x lim (3-x)

Discontinuitá di II specie

=2 = ∞

1 2

(x-2)

x→2 - 3

2

lim (3-x) = ∞

2

(x-2)

x→2 +

f( 2 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

2

2 3) x

(x -

y (1) (x)=- 3

2)

(x -

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0 2 3

-∞ ∞

-2 ⨯

2

3)

(x - ⨯

3

2)

(x - ⨯

x ↘ ︶ ↗ ↘ ≂ ↘

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

27

0 ; Minimo relativo

  →

2

3 ; 0 Flesso a tangente orizzontale discendente

( ) →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

27

0 ; Minimo relativo

  →

2

3 ; 0 flesso a tangente orizzontale discendente

( ) →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

2

2

f x

(x-3)

1

( ) (x) = - 3

(x-2)

12

f (x-3)

2

( ) (x) = - 4

(x-2)

12

f x-10)

(3

3

( ) (x) = 5

(x-2)

Passaggi per determinare i punti stazionari 9

x 0 y 0 0 y 0

(1) (2)

= ( ) = ( ) =

1 4

x 3 y 3 0 y 3 0 y 3

(1) (2) (3)

= ( ) = ( ) = ( ) = -12

2

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

12 3)

(x -

y (2) (x)=- 4

2)

(x -

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

2 3

-∞ ∞

-12

3

-

x ⨯

4

2)

(x - ︶ ︶ ︵

⟷

Punti di flesso

3 ; 0

( )

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

m 0

=

1

Tangenti nei punti di flesso

t y 0

=

)

1

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 50

40

30

20

10 2 4

-4 -2

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio

15

10

5 1 2 3 4

-1

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1

15

10

Creato da Roberto Caria per skuola.net

10 5 1 2 3 4

-1

Creato da Roberto Caria per skuola.net 11

Tempo di elaborazione: 1.2273720 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione:

9 1)

(x +

y = 3

2)

(x +

Generalitá sulla funzione

** **

Funzione ne pari ne dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

2 0

x + ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;-2[ ⋃ ]-2;∞[

oppure

 = -{-2}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 -2 -1

0

-1

-2

-3 0 1

-4 -3 -2 -1

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

9

0 ; ; 0

  ( -1 )

8

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti

9

lim 0 y 0

(x+1) asintoto orizzontale

= ⇒ =

3

(x+2)

x→-∞ 9 x

lim (x+1) asintoto verticale

= ∞ ⇒ = -2

3

(x+2)

x→-2 - 9 x

lim (x+1) asintoto verticale

= -∞ ⇒ = -2

3

(x+2)

x→-2 +

9 0 y 0

lim (x+1) asintoto orizzontale

= ⇒ =

3

(x+2)

x→∞

Asintoti

y 0

=

x = -2

Studio della continuitá

** **

Punti di discontinuitá 9

x lim (x+1)

Discontinuitá di II specie

=-2 = ∞

1 3

(x+2)

x→-2 - 9

lim (x+1) = -∞

3

(x+2)

x→-2 +

f( -2 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

9 1)

x

(2 +

y (1) (x)=- 4

2)

(x +

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

1

-

-∞ -2 ∞

2

-9 ⨯

4

2)

(x +

2 1

+

x ↗ ↗ ︵ ↘

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

12 4

;

- Massimo relativo

  →

3

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

12 4

;

- Massimo relativo

  →

3

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

9

f x+1)

(2

1

( ) (x) = - 4

(x+2)

54

f x

2

( ) (x) = 5

(x+2)

Passaggi per determinare i punti stazionari

12 12

12 32

x y 0 y

(1) (2)

- -

= -   =   = -

1 9

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

54 x

y (2) (x)= 5

2)

(x +

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

0

-∞ -2 ∞

⨯

54

x ⨯

5

2)

(x + ︶ ︵ ︶

⟷

Punti di flesso

9

0 ;

 

8

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

9

m = -

1 16

Tangenti nei punti di flesso

9

t y 2)

= - (x -

)

1 16

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 10

5 2 4

-4 -2 -5

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 2.5

2.0

1.5

1.0

0.5 1

-3 -2 -1 -0.5

-1.0

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 2.5

2.0

1.5

1.0

0.5 1

-3 -2 -1 -0.5

-1.0

Tempo di elaborazione: 51.3687967 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione: 2

2 3

x -

y = 2 2 2

x x

- +

Generalitá sulla funzione

** **

Funzione ne pari ne dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

2 2 2 0

x x

- + ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione



oppure

 = x∈

∀

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 3 3

- 2 2

0

-1

-2

-3 0 1 2 3

-3 -2 -1

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

32 3 3

0 ; ; 0 ; 0

-

     

- 2 2

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 2

2

lim 2 y 2

x -3 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x x+2

-2

x→-∞ 2

2 2 y 2

lim x -3 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x x+2

-2

x→∞

Asintoti

y 2

=

Studio della continuitá

** **

La funzione é continua in tutto il suo dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

2 3) 1)

x

(x - (2 -

y (1) (x)=- 2

2 2 2

x

- +

x

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

1 3

-∞ ∞

2

-2 3

-

x

2 1

-

x 2

2 2 2

x - +

x ↘ ︶ ↗ ︵ ↘

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

12 ; -2 Minimo relativo

  →

3 ; 3 Massimo relativo

( ) →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

12 ; -2 Minimo relativo

  →

3 ; 3 Massimo relativo

( ) →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

2

2 x x+3

2 -7

f 1

( ) (x) = - 2

2 x+2

x -2

3 2

8

f x x x+4

-42 +36

2

( ) (x) = 3

2 x+2

x -2

Passaggi per determinare i punti stazionari

1 1

1 32

x y 0 y

(1) (2)

=   =   =

1 2 2

2 5 25

x 3 y 3 0 y 3

(1) (2)

= ( ) = ( ) = -

2

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

3 2

2 21 18 2

x x x

4 - + +

y (2) (x)= 3

2 2 2

x

x - +

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

1.22 4.13

-∞ -0.0994 ∞

2 3

2 2 2

x - +

x

3 2

4 21 18 2

- + +

x x x ︵ ︶ ︵ ︶

⟷ ⟷ ⟷

Punti di flesso

;

( -0.0994 -1.349 )

1.22 ;

( -0.03 )

4.13 ; 2.9

( )

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

m = -1.523

1

m = -0.1

2

m 4.7

=

3

Tangenti nei punti di flesso

t y 1.50

x

= -1.52 -

)

1

t y 3. 0.1 x

= -

)

2

t y 5. 0.

x

= -

)

3

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 3

2

1 2 4

-4 -2 -1

-2

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 4

3

2

1 1 2 3 4 5

-2 -1 -1

-2

-3

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1

4

3

2

1 1 2 3 4 5

-2 -1 -1

-2

-3

Tempo di elaborazione: 1.2853144 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione:

2 3 2

x x

- +

y = 2 3 2

x x

+ +

Generalitá sulla funzione

** **

Funzione ne pari ne dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

2 3 2 0

x x

+ + ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;-2[ ⋃ ]-2;-1[ ⋃ ]-1;∞[

oppure

 = -{-2, -1}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 1 2

-2 -1

0

-1

-2

-3 0 2 4

-4 -2

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

0 ; 1 1 ; 0 2 ; 0

( ) ( ) ( )

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti

2

lim 1 y 1

x x+2

-3 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x x+2

+3

x→-∞ 2 x

lim x x+2

-3 asintoto verticale

= ∞ ⇒ = -2

2

x x+2

+3

x→-2 - 2 x

lim x x+2

-3 asintoto verticale

= -∞ ⇒ = -2

2

x x+2

+3

x→-2 + 2 x

lim x x+2

-3 asintoto verticale

= -∞ ⇒ = -1

2

x x+2

+3

x→-1 - 2 x

lim x x+2

-3 asintoto verticale

= ∞ ⇒ = -1

2

x x+2

+3

x→-1 + 2 1 y 1

lim x x+2

-3 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x x+2

+3

x→∞

Asintoti

y 1

=

x = -2

x = -1

Studio della continuitá

** **

Punti di discontinuitá 2

x lim x x+2

-3

Discontinuitá di II specie

=-2 = ∞

1 2

x x+2

+3

x→-2 - 2

lim x x+2

-3 = -∞

2

x x+2

+3

x→-2 +

f( -2 ) = ∄

2

x lim x x+2

-3

Discontinuitá di II specie

=-1 = -∞

2 2

x x+2

+3

x→-1 - 2

lim x x+2

-3 = ∞

2

x x+2

+3

x→-1 +

f( -1 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

2

6 2

x -

y (1) (x)= 2 2

2)

1) (x +

(x +

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

-∞ -2 -1 ∞

2 2

-

⨯ ⨯

6 ⨯ ⨯

2

1)

(x + ⨯ ⨯

2

2)

(x + ⨯

2 2

-

x ↗ ↗ ︵ ↘ ↘ ︶ ↗

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

2 ; 12 2 Massimo relativo



 -17 -

- →

2 ; 12 2 17 Minimo relativo



 - →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

2 ; 12 2 Massimo relativo



 -17 -

- →

2 ; 12 2 17 Minimo relativo



 - →