Forme bilineari

13 Forme bilineari

Nella seguente sezione diamo solo alcuni cenni di algebra multilineare; in particolare forme bilineari e prodotti scalari.

Una forma bilineare f su uno spazio vettoriale sul campo K è data da una funzione f: V × V → K che sia lineare su ciascun argomento, ovvero

f(λ₁v₁ + λ₂v₂, w) = λ₁f(v₁, w) + λ₂f(v₂, w)

e f(v, μ₁w₁ + μ₂w₂) = μ₁f(v, w₁) + μ₂f(v, w₂)

per ogni scelta di v, v₁, v₂, w, w₁, w₂ ∈ V e λ₁, λ₂, μ₁, μ₂ ∈ K. La forma f si dice simmetrica se f(v, w) = f(w, v) per ogni v, w ∈ V.

Per le forme bilineari valgono tutte le proprietà, su ogni argomento, delle forme lineari, ovvero delle applicazioni lineari da V in R.

Come per le applicazioni lineari è possibile considerare la matrice che rappresenta una forma bilineare rispetto ad una base fissata in V. Sia infatti B = {b₁, . . . , b_n} una base in V; allora

f(v, w) = ∑_i,j=1ⁿ c_ijv_iw_j

dove c_ij = f(b_i, b_j) e v_i, w_j sono le coordinate di v e w rispetto alla base B.

Una forma bilineare è simmetrica se e solo se la matrice che rappresenta la forma rispetto ad una qualunque base è simmetrica.

In particolare, data una forma bilineare simmetrica f su V, si definisce la forma quadratica associata ad f come la funzione q: V → K data da

q(v) = f(v, v).

Esempio

Sia f: R³ × R³ → R la forma bilineare definita da

f((x₁, x₂, x₃), (y₁, y₂, y₃)) = 2x₁y₁ − x₁y₂ + 4x₂y₂ + x₃y₃.

Allora la matrice che rappresenta f rispetto alla base canonica di R³ è data da

 2   −1   0 

 0    4   0 

 0    0   1 

La forma quadratica associata è data da

q(x₁, x₂, x₃) = 2x₁² − x₁x₂ + 4x₂² + x₃².