Dire se l'applicazione lineare
[math]f:((x),(y),(z))->((-11y+9z),(x-3z),(x-3y))[/math]
è diagonalizzabile.
Svolgimento: la matrice associata all'applicazione lineare è
[math]A=((0,-11,9),(1,0,-3),(1,-3,0))[/math]
; calcolando il polinomio caratteristico di [math]A[/math]
trovi che gli autovalori sono:
[math]\lambda_1=3;\lambda_2=-1;\lambda_3=-2[/math]
. La matrice è diagonalizzabile in quanto ci sono 3 autovalori distinti. Sostituendo [math]\lambda_1[/math]
nella matrice [math]A-\lambdaI[/math]
si trova la matrice:
[math]A-3I=((-3,-11,9),(1,-3,-3),(1,-3,-3))[/math]
il ker di questa matrice è generato dal vettore [math]((3),(0),(1))[/math]
. Se fai la stessa cosa con gli altri due autovalori troverai che la matrice
[math]M[/math]
le cui colonne sono gli autovettori della matrice [math]A[/math]
è:
[math]M=((3,2,1),(0,1,1),(1,1,1))[/math]
in particolare
[math]((2),(1),(1))[/math]
è autovettore relativo all'autovalore [math]\lambda_2=-1[/math]
e
[math]((1),(1),(1))[/math]
è autovettore relativo all'autovalore [math]\lambda_3=-2[/math]
. E' buona regola, alla fine di un esercizio, fare la verifica dei risultati che abbiamo trovato:
[math]((0,-11,9),(1,0,-3),(1,-3,0))((3),(0),(1))=((9),(0),(3))=3 \cdot ((3),(0),(1))[/math]
[math]((0,-11,9),(1,0,-3),(1,-3,0))((2),(1),(1))=((-2),(-1),(-1))=(-1) \cdot ((2),(1),(1))[/math]
[math]((0,-11,9),(1,0,-3),(1,-3,0))((1),(1),(1))=((-2),(-2),(-2))=(-2) \cdot ((1),(1),(1))[/math]
.
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