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Problemi base di combinatoria

Approfondiamo la risoluzione di alcuni problemi semplici di combinatoria, che si risolvono col classico conteggio degli anagrammi.

Esercizio 1

Quanti sono gli anagrammi della parola SCUOLA che possiedono tutte le consonanti consecutive?
Soluzione Esercizio 1
Dobbiamo contare tutti gli anagrammi in cui le consonanti sono vicine tra loro. Consideriamo le lettere S, C, L. Consideriamo il blocco SCL, chiamiamolo K.
A questo punto, il problema diventa più facile, dobbiamo contare gli anagrammi della parola KUOA.
Sono
[math]4! = 4*3*2*1 = 24[/math]
.
Non dimentichiamo il blocco K. In quanti modi diversi si può anagrammare la parola SCL? Esattamente in
[math]3! = 6[/math]
modi.
La soluzione sarà quindi
[math]4! * 3! = (3!)^2*4 = 36*4 = 144[/math]

Esercizio 2

In quanti modi diversi posso disporre su uno scaffale 3 libri di italiano, 4 di inglese e 2 di francese facendo in modo che libri dello stesso argomento siano vicini tra loro? (N.B. I libri sono tutti diversi tra loro).
Soluzione Esercizio 2
Analogamente a ciò che abbiamo detto nel problema 1, dividiamo i libri dello stesso argomento in tre blocchi: K1, K2, K3.
La parola K1K2K3 può essere anagrammata in
[math]3![/math]
modi.
Ora,K1, si può anagrammare in 3! modi, mentre K2 in 4! modi, e K3 in 2! modi.
La soluzione sarà allora:
[math]3! * 3! * 4! * 2! = 36*48 = 1728[/math]
modi diversi.
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