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Conteggio delle diagonali di un poligono

Il numero delle diagonali di un poligono regolare è dato dalla seguente formula:
[math]D_n = \frac{n(n-3)}{2}[/math]
Per esempio, un ettagono ha:
[math]D_7 = \frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 * 4}{2} = 14[/math]
diagonali.
E come ogni formula spiegata, proviamo a ricavarne la dimostrazione.
Proviamo a dimostrare!
Sia
[math]A_1A_2A_3...A_n[/math]
un poligono di n lati e n vertici.
Siccome le diagonali non sono altro che segmenti che congiungono due vertici non consecutivi, ragioniamo con la combinatoria.
Ogni coppia di vertici può essere scelta in
[math]n \choose 2[/math]
modi.
[math]n \choose 2[/math]
=
[math] \frac{n(n-1)}{2}[/math]
. A questa espressione, è necessario sottrarre il numero dei lati, ovvero il numero di coppie di vertici consecutivi.
Si ottiene allora che:
[math]D_n = \frac{n(n-1)}{2}-n = \frac{n^2-n}{2}-n = \frac{n^2-n-2n}{2} = \frac{n^2-3n}{2} = \frac{n(n-3)}{2}[/math]

Esercizi

Calcolare il numero di diagonali di un dodecagono regolare.
[math]D_{12} = \frac{12(12-3)}{2} = \frac{(12*9)}{2} = 6*9 = 54
Un certo poligono ha 90 diagonali, quanti lati ha questo poligono?
Si tratta di risolvere la seguente equazione:
[math]n(n-3) = 180[/math]
Che ha come soluzioni infatti 15 e 12, il poligono che soddisfa questa caratteristica ha esattamente 15 lati.
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