CALCOLO COMBINATORIO: DISPOSIZIONI

Oggi ci occuperemo di calcolo combinatorio e più precisamente di disposizioni. Per capire di che cosa si tratta, come al solito partiamo da un semplice esempio, e supponiamo di avere una gara di corsa in cui abbiamo

[math]9[/math]
partecipanti.


La domanda che vogliamo porci è la seguente: Se sappiamo che alla fine ne verranno premiati tre, quanti sono i possibili podi? In altre parole, questo equivale a chiedersi quanti sono le possibile sequenze ordinate di tre elementi che si possono fare a partire da un gruppo di parte di

[math]9[/math]
. E qui se ragioniamo un po' in maniera analoga a quello che avevamo già fatto per le permutazioni, è chiaro che avremo
[math]9[/math]
possibilità per il primo (cioè la gara potrà finire con uno possibile dei nove che si classificherà per primo) a questo punto ci saranno otto possibilità per il secondo (quindi il secondo classificato sarà uno degli altri otto) mentre il terzo classificato sarà uno dei sette che rimangono.

Quindi alla fine ci saranno

[math]9*8*7=504[/math]
possibili podi, o se volete equivalentemente avremo
[math]504[/math]
possibili sequenze ordinate di
[math]3[/math]
elementi che possiamo fare da un gruppo di partenza di
[math]9[/math]
elementi.

In generale, quindi, quando saremo interessati a realizzare una sequenza ordinata di

[math]k[/math]
elementi presi da un gruppo di partenza di
[math]n[/math]
elementi, naturalmente con
[math]n≥k[/math]
, non parleremo più di permutazioni (perché nelle permutazioni volevamo riordinare tutti gli
[math]n[/math]
elementi che avevamo e non solo una parte di questi) ma parleremo questa volta di disposizione.

A questo punto possiamo dare la definizione di disposizione semplice: Definiamo disposizione semplice di

[math]n[/math]
elementi di classe
[math]k[/math]
ogni qualsiasi sottoinsieme ordinato di
[math]k[/math]
elementi diversi che possiamo fare selezionandoli dal gruppo di partenza di
[math]n[/math]
elementi.

Naturalmente rispetto alle permutazioni, c'è un grado di libertà in più per decidere se due disposizioni sono la stessa o sono diverse, perché nelle permutazioni avevamo

[math]n[/math]
elementi e li usavamo tutti
[math]n[/math]
per costruire la sequenza ordinata. Qui invece ne usiamo soltanto
[math]k[/math]
. Quindi avremo che due disposizioni possono essere diverse tra loro o se contengono effettivamente due disposizioni diverse se cambia almeno uno degli elementi oppure se gli stessi elementi compaiono in ordine differente.

Pensate ad esempio dei podi di prima nella gara di corsa, due podi possono essere diversi o perché effettivamente sul podio ci sono persone diverse oppure due podi sono diversi anche se ci sono gli stessi

[math]3[/math]
ma in ordine diverso.

Supponiamo di far il nostro gruppettino ordinato di

[math]k[/math]
elementi presi da un gruppo di partenza di
[math]n[/math]
. Logicamente avremo
[math]n[/math]
modi di decidere chi sarà il primo della nostra sequenza. Dopodiché una volta che avremo scelto lui avremo
[math](n-1)[/math]
modi per decidere chi sarà il secondo della sequenza e
[math](n-2)[/math]
modi per decidere il terzo e così via, finché ad un certo punto avremo
[math](n-k+1)[/math]
per decidere l'ultimo.
Se li contante effettivamente sono
[math]k[/math]
fattori. Dunque:


[math]n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)[/math]


A questo punto questo numero, potremo pensare di moltiplicarlo e dividerlo per tutti i termini che mi mancano per far comparire

[math]n[/math]
fattoriale. Quindi:


[math]n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)*\frac{(n-k)(n-k-1)...2*1}{(n-k)(n-k-1)...2*1}\ =\\
\\
=\ \frac{n!}{(n-k)!}[/math]


Quindi abbiamo scoperto che il numero delle disposizioni semplici di

[math]n[/math]
elementi di classe
[math]k[/math]
è pari a
[math]\frac{n!}{(n-k)!}[/math]
. Convenzionalmente questo si indica con il simbolo:


[math]D_{n,k}=\ \frac{n!}{(n-k)!}[/math]

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