Sistemi di numerazione oltre il decimale: Un'esplorazione delle basi numeriche alternative

SUNTO

Il presente articolo tratta il tema della numerazione in basi diverse da quella decimale, con l’intento di

evidenziarne alcune regole, ricorrenze, curiosità.

Per brevità, saranno trattate solo alcune basi numeriche e tra queste, per motivi che saranno chiariti

più avanti, sarà approfondita in modo particolare la base 12.

Prima di affrontare l’argomento, due precisazioni:

1) Per limitare le ambiguità insite nel tema trattato (“25” indica il numero decimale venticinque o il

numero composto dalle cifre “2” e “5” in altra notazione?), si userà il carattere corsivo per

indicare i numeri scritti in una base non decimale, tralasciando soluzioni come l’uso del pedice,

che rischiano di appesantire troppo il testo.

2) Per rappresentare le cifre maggiori di 9 nelle basi superiori a quella decimale saranno utilizzate,

nell’ordine, le lettere dell’alfabeto: A,B,C e così via.

INTRODUZIONE

Sistemi di numerazione

Un sistema di numerazione è un sistema utilizzato per rappresentare i numeri e le operazioni che si

possono effettuare su di essi. Presso tutte le culture con qualche forma di organizzazione sono state

sviluppate notazioni numerali, talora assai rudimentali, fino ad arrivare al sistema oggi più diffuso,

quello posizionale decimale.

Vale la pena ricordare la differenza fondamentale tra un sistema additivo, come quello usato dai

romani, in cui un simbolo rappresenta sempre la stessa quantità, e un sistema posizionale in cui,

invece, ogni simbolo assume un diverso valore a seconda della posizione in cui si trova.

Così, ad esempio - mentre nel numero romano XXX le tre cifre X valgono tutte 10 e, dunque, il numero

corrisponde al nostro 30 - nel sistema decimale il valore effettivo di 444 non è la somma 4+4+4, ma

2 1 0

+4x10 +4+10 .

4x10

Il sistema decimale

Com’è noto, l’affermarsi della base 10 tra i sistemi posizionali si deve al fatto che le mani umane

hanno 5 dita ciascuna. Anche il sistema numerico dell’antico popolo Maya - che era in base 20 - ha la

stessa origine, ma in questo caso venivano contate anche le dita dei piedi.

Nella storia sono state utilizzate anche basi diverse, delle quali restano ancora oggi tracce evidenti

nella vita quotidiana, come il sistema sessagesimale dei babilonesi, usato nel calcolo del tempo

1

(minuti, secondi) e degli angoli , ma la base 10 ha finito per prevalere ovunque.

Oggi il sistema decimale è considerato talmente “ovvio” che spesso non si pensa nemmeno alla

possibilità di eseguire calcoli con un sistema diverso. Ma come sarebbe la matematica se gli uomini

avessero 4 dita per mano, oppure 6, oppure avessero 3 mani composte da 3 dita ciascuna?

BASI NUMERICHE “VICINE” A 10

Operando in una base b diversa da 10, l’ordine di grandezza dei numeri - l’equivalente delle nostre

unità, decine, centinaia etc. - viene definito dalle successive potenze di b. Ad esempio, il valore del

2 1 0

numero 234 in base 8 è dato da: 2x8 +3x8 +4x8 = 128+24+4 = 156 (in notazione decimale).

Proviamo ad esaminare più in dettaglio proprio la base 8 e le altre basi più vicine - come numero di

cifre - a quella decimale.

1 Altri esempi, relativi alla base 12, saranno ripresi più avanti. 1

Basi numeriche non decimali S. Borgogni

Il sistema ottale

Immaginiamo un mondo in cui l’uomo abbia solo 4 dita oppure gli esseri pensanti siano simili ai

polipi con i loro 8 tentacoli. La numerazione, allora, seguirebbe con ogni probabilità il sistema ottale,

comprendente appunto otto cifre, da 0 a 7.

Vediamo la tavola pitagorica completa relativa alla numerazione in base 8.

NUMERI IN BASE 8 - TAVOLA PITAGORICA

1 2 3 4 5 6 7 10

2 4 6 10 12 14 16 20

3 6 11 14 17 22 25 30

4 10 14 20 24 30 34 40

5 12 17 24 31 36 43 50

6 14 22 30 36 44 52 60

7 16 25 34 43 52 61 70

10 20 30 40 50 60 70 100

Le cifre terminali dei multipli di 2 e 6 si ripetono seguendo le successioni 6-4-2-0 e 2-4-6-0.

Si tratta di una regola che vale per qualsiasi base pari: le cifre terminali dei multipli dei numeri pari

che non dividono esattamente la base, si ripetono due volte con uno 0 a metà della tavola.

La base 9

Utilizzare come base di un sistema posizionale un numero dispari crea una situazione decisamente

strana, poiché siamo talmente abituati al concetto di pari e dispari che ci appare “innaturale” un

sistema numerico privo di questa fondamentale bipartizione dei numeri.

Si possono verificare due situazioni molto diverse, a seconda che il numero scelto come base sia

primo oppure composto. Esaminiamo dapprima la base 9 che, ovviamente, rientra nel secondo caso.

NUMERI IN BASE 9 - TAVOLA PITAGORICA

1 2 3 4 5 6 7 8 10

2 4 6 8 11 13 15 17 20

3 6 10 13 16 20 23 26 30

4 8 13 17 22 26 31 35 40

5 11 16 22 27 33 38 44 50

6 13 20 26 33 40 46 53 60

7 15 23 31 38 46 54 62 70

8 17 26 35 44 53 62 71 80

10 20 30 40 50 60 70 80 100 2

Basi numeriche non decimali S. Borgogni

Visto che 9 è divisibile per 3, in questa base i numeri possono essere ripartiti - anziché nei due classici

insiemi, pari e dispari - in tre gruppi “alfa”, “beta” e “gamma”, corrispondenti ai numeri 1, 2 e 0

(modulo 3).

Senza addentrarci troppo nell’analisi, vediamo soltanto come potrebbe essere la tabella con i risultati

del prodotto tra numeri dei tre diversi gruppi, raffrontata con quella tra pari e dispari che conosciamo.

MOLTIPLICAZIONE IN BASE 10 E IN BASE 9

Base 10 Base 9

Pari x Pari Pari Alfa x Alfa Alfa

Pari x Dispari Pari Alfa x Beta Beta

Dispari x Dispari Dispari Alfa x Gamma Gamma

Beta x Beta Alfa

Beta x Gamma Gamma

Gamma x Gamma Gamma

Vale la pena di notare che, se sostituiamo rispettivamente “alfa”, “beta” e “gamma” con “+1”, “-1” e

“0”, i risultati della tabella collimano perfettamente con quelli che otterremmo moltiplicando nel

nostro sistema numerico (+1x-1=-1; -1x-1=+1; +1x0=0 etc.)

Un’ultima annotazione riguardo ai numeri 3 e 6: le cifre terminali di tutti i loro multipli si ripetono per

tre volte nella tavola pitagorica in base 9, secondo le successioni 3-6-0 e 6-3-0.

La base 11

Come detto, ben diverso è il caso di un’altra base dispari vicina a quella decimale, cioè la base 11.

Vediamo in primo luogo la tavola pitagorica relativa, per poi fare alcune considerazioni.

NUMERI IN BASE 11 - TAVOLA PITAGORICA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 10

2 4 6 8 A 11 13 15 17 19 20

3 6 9 11 14 17 1A 22 25 28 30

4 8 11 15 19 22 26 2A 33 37 40

5 A 14 19 23 28 32 37 41 46 50

6 11 17 22 28 33 39 44 4A 55 60

7 13 1A 26 32 39 45 51 58 64 70

8 15 22 2A 37 44 51 59 66 73 80

9 17 25 33 41 4A 58 66 74 82 90

A 19 28 37 46 55 64 73 82 91 A0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 100

Si può notare come in questa tavola non vi sia alcuna ricorrenza simile a quella esistente in base 9 o

come quelle relative ai numeri pari (nel caso di base anch’essa pari) cui si è accennato.

Al contrario, in base 11 i multipli delle cifre da 1 ad A terminano una e una sola volta con ciascuna

cifra. 3

Basi numeriche non decimali S. Borgogni

Un altro dato interessante è che tutte le frazioni espresse in base 11 - nessuna esclusa - producono

numeri illimitati periodici. Ad esempio, la frazione 1/2 equivale in base 11 a 0,555…; 1/3 è 0,3737… e

così via.

Naturalmente, la stessa regola vale per qualunque base b, se b è un numero primo.

ALTRE BASI NUMERICHE

Le basi “informatiche”: 2 e 16

Con la nascita dei primi elaboratori elettronici, il sistema binario ha assunto una grande importanza,

dovuta alla possibilità di rappresentare le due cifre 1 e 0 con lo stato dei circuiti elettrici ed elettronici

(acceso/spento, on/off) e, dunque, di fare calcoli o codificare informazioni.

Il sistema binario, ovviamente, non è assolutamente utilizzabile nella vita quotidiana, visto che anche

numeri relativamente piccoli sarebbero composti da un gran numero di cifre: ad esempio, il numero

decimale 1.024 in base 2 sarebbe 10.000.000.000 (1 seguito da 10 zeri).

Per ovviare a questo inconveniente, in informatica si usa anche il sistema esadecimale. Infatti, 16 è la

quarta potenza di 2, per cui i numeri binari possono essere raggruppati in blocchi di 4 cifre, partendo

da destra, e ciascun blocco si può riscrivere con una cifra esadecimale, da 1 a F.

Ad esempio, il numero binario 1011100 (corrispondente a 92 nel sistema decimale) si può esprimere

in base 16 come 5C, poiché i numeri binari 1100 e 101 equivalgono rispettivamente a C e a 5.

Basi “grandi”

All’estremo opposto rispetto al sistema binario, si collocano le basi “grandi” (per fissare un limite,

diciamo da 20 in su).

Ovviamente, usando tali basi si potrebbero esprimere i numeri in maniera molto più compatta rispetto

al sistema decimale. Inoltre, si avrebbero diversi vantaggi scegliendo come base un numero con molti

2 ; ad esempio, 24 o addirittura 60, che è il minimo comune multiplo dei primi sei numeri

divisori

interi.

Il rovescio della medaglia è evidente: la necessità di utilizzare un gran numero di cifre graficamente

distinte tra loro, oppure combinazioni di pochi simboli che, però, diventano sempre più complicate e

difficilmente leggibili al crescere dei numeri da rappresentare. Immaginiamo, ad esempio, un numero

composto da 6 o 7 “cifre” Maya equivalenti al nostro numero 19 …

I numeri Maya

2 Questo aspetto sarà ripreso nel capitolo dedicato alla base12. 4

Basi numeriche non decimali S. Borgogni

LA BASE 12

Veniamo, infine, alla base 12, che potrebbe essere nella vita quotidiana una valida alternativa al

sistema decimale.

Non sarebbe una novità, visto che i segni di un largo uso della base 12 nel passato sono ancora

presenti in molti campi diversi; basti pensare al calcolo del tempo (i 12 mesi, le 12+12 ore del giorno)

o all’uso abituale, per alcuni generi alimentari come ostriche e uova, della dozzina.

Che dire, poi, delle misure di lunghezza, peso o moneta tuttora usate nei paesi britannici: 1 piede = 12

pollici; 1 libbra = 12 once; 1 scellino = 12 pence … ?

Alcune tracce restano anche a livello lessicale: in inglese e in tedesco i numeri 11 e 12 hanno nomi

specifici ("eleven / elf"; "twelve / zwölf”), mentre il suffisso "teen / zehn" si usa solo a partire dal

numero 13.

La base 12 è stata studiata da matematici di diverse epoche, tanto che a più riprese c’è stato chi

proponeva di convertire completamente il nostro sistema numerico da decimale a duodecimale.

I motivi sono chiari: la base 12 non ha gli inconvenienti delle basi troppo grandi ed ha il vantaggio di