Basi e dimensione

5 Basi e dimensione

Sia V uno spazio vettoriale e sia X ⊆ V un suo sottoinsieme costituito da vettori linearmente indipendenti; allora si vede facilmente che ogni sottoinsieme di X è costituito ancora da vettori linearmente indipendenti.

Invece non è detto che aggiungendo vettori ad X si ottengano ancora vettori linearmente indipendenti (basta aggiungere un vettore multiplo di un altro già presente in X per trovare vettori linearmente dipendenti).

Simmetricamente, se Y è un insieme di generatori per V, ogni sottoinsieme Z di V con Y ⊆ Z sarà ancora insieme di generatori per V.

Quello che quindi si cerca di fare è di considerare il numero massimale di vettori linearmente indipendenti e confrontarlo con il numero minimale di generatori per V: se lo spazio vettoriale V è finitamente generato, tali numeri (naturali) coincidono con la dimensione di V.

Sia V uno spazio vettoriale e sia B ⊆ V non vuoto e finito.

Definizione

B si dice base per V se B è un insieme di generatori per V e i vettori di B sono linearmente indipendenti.

Teorema

Sia V uno spazio vettoriale e sia B una sua base. Sia B ⊆ X ⊆ V; allora X è costituito da vettori linearmente dipendenti. Inoltre, se Y ⊂ B, allora Y non è un insieme di generatori per V.

Dimostrazione

Sia v ∈ X \ B; allora v è combinazione lineare di vettori di B, dal momento che B genera V. Ma allora i vettori di X non sono linearmente indipendenti.

Sia w ∈ B \ Y; se per assurdo Y generasse V, il vettore w dovrebbe essere combinazione lineare di vettori di Y, e quindi i vettori di B sarebbero linearmente dipendenti, che è assurdo.

Il Teorema appena dimostrato afferma che se uno spazio vettoriale V ammette una base B, allora la cardinalità di B è il numero massimo di vettori linearmente indipendenti in V e, contemporaneamente, il numero minimo di generatori per V.

Inoltre si può facilmente dimostrare che se B′ è un’altra base per V, necessariamente B′ deve avere la stessa cardinalità di B. Tale cardinalità comune si dice dimensione di V, ed è denotata con dim V.

Esempio: Rⁿ

Sia V = Rⁿ; allora V è uno spazio vettoriale reale di dimensione n su R. Infatti sia

B = {e₁, . . . , e_n} ⊆ Rⁿ,

dove e_i = (0, 0, . . . , 1, . . . , 0, 0), dove il numero 1 si trova all’i-esimo posto. Allora B è una base per Rⁿ. Infatti si ha

∑_i=1ⁿ λ_ie_i = (λ₁, λ₂, . . . , λ_n)

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