Basi e dimensione

5 Basi e dimensione ⊆

Sia V uno spazio vettoriale e sia X V un suo sottoinsieme costituito da vet-

tori linearmente indipendenti; allora si vede facilmente che ogni sottoinsieme di

X è costituito ancora da vettori linearmente indipendenti. Invece non è detto che

aggiungendo vettori ad X si ottengano ancora vettori linearmente indipendenti

(basta aggiungere un vettore multiplo di un altro già presente in X per trovare

vettori linearmente dipendenti). Simmetricamente se Y è un insieme di generatori

⊆

per V , ogni sottoinsieme Z di V con Y Z sarà ancora insieme di generatori

per V . Quello che quindi si cerca di fare è di considerare il numero massimale di

vettori linearmente indipendenti e confrontarlo con il numero minimale di genera-

tori per V : se lo spazio vettoriale V è finitamente generato tali numeri (naturali)

coincidono con la dimensione di V . ⊆

Sia V uno spazio vettoriale e sia B V non vuoto e finito. B

Definizione.

si dice base per V se B è un insieme di generatori per V e i vettori di B sono

linearmente indipendenti. ⊂ ⊆

Sia V uno spazio vettoriale, e sia B una sua base. Sia B X V ;

Teorema. ⊂

allora X è costituito da vettori linearmente dipendenti. Inoltre se Y B allora Y

non è un insieme di generatori per V .

∈ \

Dimostrazione. Sia v X B; allora v è combinazione lineare di vettori di B, dal

momento che B genera V . Ma allora i vettori di X non sono linearmente indipen-

∈ \

denti. Sia w B Y ; se per assurdo Y generasse V il vettore w dovrebbe essere

combinazione lineare di vettori di Y , e quindi i vettori di B sarebbero linearmente

dipendenti, che è assurdo.

Il Teorema appena dimostrato afferma che se uno spazio vettoriale V ammette

una base B, allora la cardinalità di B è il numero massimo di vettori linearmente

indipendenti in V , e contemporaneamente il numero minimo di generatori per V .

0

Inoltre si può facilmente dimostrare che se B è un’altra base per V , necessaria-

0

mente B deve avere la stessa cardinalità di B. Tale cardinalità comune si dice

dimensione di V , ed è denotata con dimV .

n

Sia V = ; allora V è uno spazio vettoriale reale di dimensione n

Esempio: R

su Infatti sia

R. n

{e } ⊂

B = , . . . , e R

1 n

dove e = (0, 0, . . . , 1, . . . , 0, 0) dove il numero 1 si trova all’i-esimo posto. Allora

i n

B è una base per . Infatti si ha

R n

X λ e = (λ , λ , . . . , λ )

i i 1 2 n

i=1 8