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Indice del primo volume
Prefazione v
Prefazione alla seconda edizione vii
Prefazione all’edizione 2016 vii
Prefazione all’edizione 2017 vii
Prefazione all’edizione 2018 viii
I Aritmetica e Algebra 1
1 Numeri naturali 3
1.1 L’origine dei numeri 3
1.2 I numeri naturali 4
1.3 Cosa sono 4
1.4 Il sistema di numerazione decimale posizionale 5
1.4.1 Rappresentazione geometrica 6
1.5 Operazioni con i numeri naturali 6
1.5.1 Proprietà delle operazioni 6
1.5.2 Addizione in N 7
1.5.3 Sottrazione in N 7
1.5.4 Moltiplicazione in N 8
1.5.5 Divisione in N 9
1.5.6 Proprietà distributiva 11
1.6 Potenza 11
1.6.1 Proprietà delle potenze 12
1.7 Espressioni numeriche 13
1.7.1 Soluzione con grafo ad albero 14
1.7.2 Metodo sequenziale 16
1.8 Espressioni con un buco 17
1.8.1 Soluzione con grafo ad albero 17
1.8.2 Soluzione sequenziale 20
1.9 Divisibilità e numeri primi 21
1.9.1 Divisori, numeri primi, numeri composti 23
1.10 Scomposizione in fattori primi 26
1.10.1 Scomposizione con un grafo ad albero 26
1.10.2 Scomposizione con un metodo sequenziale 26
1.11 Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo 27
1.12 Esercizi 29
1.12.1 Esercizi dei singoli paragrafi 29
1.12.2 Esercizi riepilogativi 35
2 Numeri interi relativi 37
2.1 I numeri che precedono lo zero 37
2.2 I numeri relativi e la retta 38
2.3 Confronto di numeri relativi 39
2.4 Le operazioni con i numeri relativi 39
2.4.1 Addizione 39
2.4.2 Sottrazione 40
2.4.3 Somma algebrica 41
2.4.4 Moltiplicazione 41
2.4.5 Divisione 42
2.4.6 Potenza di un numero relativo 43
2.4.7 Le proprietà delle operazioni nell’insieme dei numeri relativi 43
2.5 Esercizi 44
2.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 44
2.5.2 Esercizi riepilogativi 48
3 Numeri razionali 53
3.1 I numeri razionali 53
3.2 Notazione decimale 53
3.3 Frazioni 55
3.3.1 Rappresentazione mista 55
3.3.2 Rappresentazione sulla retta 56
3.3.3 Frazioni equivalenti 56
3.3.4 Confronto di frazioni 57
3.3.5 Operazioni con le frazioni 58
3.4 Decimali contro frazioni 61
3.4.1 Da frazione a decimale 61
3.4.2 Da decimale a frazione 61
3.5 Notazione scientifica e ordine di grandezza 63
3.5.1 Notazione scientifica 64
3.5.2 Ordine di grandezza 65
3.6 Rapporto, percentuale, proporzioni 66
3.6.1 Rapporto 66
3.6.2 Proporzioni 66
3.6.3 Percentuale 67
3.7 Problemi con le frazioni 67
3.7.1 Problemi diretti 67
3.7.2 Problemi inversi 68
3.8 Un po' di storia 68
3.9 Esercizi 70
3.9.1 Esercizi riepilogativi 83
4 Calcolo letterale 89
4.1 Espressioni letterali e valori numerici 89
4.1.1 Lettere per esprimere formule 89
4.1.2 Valore numerico di un’espressione letterale 89
4.2 I monomi 90
4.2.1 Definizioni 90
4.2.2 Valore di un monomio 92
4.2.3 Moltiplicazione di monomi 93
4.2.4 Potenza di un monomio 93
4.2.5 Divisione di due monomi 94
4.2.6 Addizione di due monomi 95
4.2.7 Espressioni con i monomi 96
4.2.8 Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo tra monomi 97
4.3 Polinomi 99
4.3.1 Definizioni fondamentali 99
4.3.2 Somma algebrica di polinomi 021
4.3.3 Prodotto di un polinomio per un monomio 102
4.3.4 Quoziente tra un polinomio e un monomio 102
4.3.5 Prodotto di polinomi 103
4.4 Prodotti notevoli 103
4.4.1 Quadrato di un binomio 103
4.4.2 Quadrato di un polinomio 104
4.4.3 Prodotto della somma fra due monomi per la loro differenza 104
4.4.4 Prodotto particolare 105
4.4.5 Cubo di un binomio 106
4.4.6 Potenza n-esima di un binomio 106
4.5 Esercizi 108
4.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 108
4.5.2 Esercizi riepilogativi 126
II Geometria 129
5 Nozioni fondamentali 131
5.1 Introduzione alla geometria razionale 131
5.1.1 Breve nota storica 131
5.1.2 Lo spazio fisico e la geometria 132
5.2 Il metodo assiomatico, i concetti primitivi e le definizioni 132
5.2.1 I teoremi 133
5.2.2 Postulati e assiomi 134
5.3 Prime definizioni 138
5.3.1 Semirette e segmenti 138
5.3.2 Semipiani e angoli 140
5.4 Confronto e operazioni tra segmenti e angoli 143
5.4.1 Premessa intuitiva 143
5.4.2 La congruenza 144
5.4.3 Costruzioni riga e compasso 145
5.4.4 Confronto di segmenti 147
5.4.5 Confronto di angoli 18
5.4.6 Operazioni con i segmenti 150
5.4.7 Operazioni con gli angoli 155
5.4.8 Angoli particolari 157
5.4.9 Perpendicolari e altre definizioni 159
5.5 Poligoni e poligonale 161
5.5.1 Poligono 162
5.6 Esercizi 165
5.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi 165
6 Congruenza nei triangoli 175
6.1 Definizioni relative ai triangoli 175
6.2 Criteri di congruenza dei triangoli 178
6.3 Teoremi del triangolo isoscele 180
6.4 Esercizi 183
6.4.1 Esercizi riepilogativi 183
7 Il piano cartesiano 187
7.1 Un po’ di storia 187
7.2 Asse cartesiano 187
7.3 Piano cartesiano 188
7.4 Problemi nel piano cartesiano 190
7.4.1 Punto medio di un segmento 190
7.4.2 Lunghezza di un segmento 191
7.4.3 Area sottesa a un segmento 192
7.4.4 Area di un triangolo 194
7.5 Esercizi 196
7.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 196
7.5.2 Esercizi riepilogativi 196
III Relazioni e funzioni 199
8 Insiemi 201
8.1 Definizioni 201
8.1.1 Elementi primitivi della teoria degli insiemi 201
8.1.2 Insieme vuoto 202
8.1.3 Cardinalità 203
8.2 Rappresentazione degli insiemi 203
8.2.1 Rappresentazione tabulare 203
8.2.2 Rappresentazione per proprietà caratteristica 204
8.2.3 Rappresentazione grafica (Diagramma di Venn) 205
8.3 Operazioni con gli insiemi 205
8.3.1 Sottoinsieme 205
8.3.2 Insieme delle parti 207
8.3.3 Insieme unione 208
8.3.4 Insieme intersezione 209
8.3.5 Proprietà distributiva 210
8.3.6 Insieme differenza 210
8.3.7 Insieme complementare 211
8.3.8 Leggi di De Morgan 212
8.3.9 Prodotto cartesiano fra insiemi 213
8.4 I diagrammi di Eulero-Venn come modello di un problema 215
8.5 Esercizi 218
8.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 218
8.5.2 Esercizi riepilogativi 226
9 Identità, equazioni 233
9.1 Identità ed equazioni 233
9.1.1 Ricerca dell’insieme soluzione 235
9.2 Prinicipi di equivalenza 235
9.2.1 Risoluzione di equazioni numeriche intere di primo grado 236
9.3 Equazioni a coefficienti frazionari 238
9.3.1 Equazioni in cui l’incognita compare con grado maggiore di 1 238
9.3.2 Equazioni in cui l’incognita scompare 239
9.3.3 Riassunto 239
9.4 Problemi di I grado in un’incognita 240
9.4.1 Un po’ di storia e qualche aneddoto 240
9.5 Esercizi 245
9.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 245
9.5.2 Problemi dalla realtà 251
9.5.3 Problemi di geometria 253
10 Relazioni e funzioni 255
10.1 Proposizioni e predicati 255
10.2 Relazioni in un insieme 255
10.2.1 Proprietà delle relazioni 256
10.2.2 Relazioni di equivalenza 258
10.2.3 Relazioni di ordine 260
10.3 Funzioni 260
10.3.1 Funzioni: definizioni 260
10.3.2 Il grafico di una funzione 262
10.3.3 Proporzionalità diretta e inversa 264
10.3.4 Funzioni particolari 267
10.4 Esercizi 269
10.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 269
IV Dati e previsioni 277
11 Statistica descrittiva 279
11.1 Indagine statistica 279
11.2 Fasi di un’indagine statistica 280
11.2.1 Spoglio delle schede e tabulazione 281
11.2.2 Rappresentazione grafica 283
11.3 Indici di posizione 288
11.3.1 Moda 288
11.3.2 Media aritmetica 289
11.3.3 Mediana 290
11.4 Esercizi 292
11.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 292
11.4.2 Esercizi riepilogativi 298
V Elementi di informatica 305
12 Foglio di calcolo 307
12.1 Avviamo “Calc” 307
12.2 Celle, colonne, righe... il foglio di calcolo 308
12.3 Formati e ordinamenti 310
12.4 Copiare in modo intelligente 312
12.5 Diagrammi 314
12.6 Esercizi 316
13 Geometria interattiva 1 317
13.1 Introduzione 317
13.1.1 Installiamo un interprete 317
13.1.2 Riassumendo 318
13.2 Elementi fondamentali 319
13.2.1 Un piano vuoto 319
13.2.2 Oggetti di base 321
13.2.3 Intersezioni 323
13.2.4 Altri oggetti primitivi 324
13.2.5 Poligoni 325
13.2.6 Riassumendo 327
13.3 Altri problemi 328
Sezione 3.6. Confronto tra numeri razionali 63
Se il numero razionale è negativo, ci comportiamo come prima con l’avvertenza di
muoverci nel senso opposto a quello precedente cioè da destra verso sinistra.
Q
0 1 2
13 12 3 3
−2 −1
− −
8 8 2
3.6 Confronto tra numeri razionali a minore
Il numero razionale rappresentato dalla frazione è del numero razionale rap-
n
b a
presentato dalla frazione , se nella retta orientata il punto che corrisponde alla frazione
m n
b
precede il punto che corrisponde alla frazione e si scrive
m
a b .
<
n m
a b
maggiore
Il numero razionale è di , se nella retta orientata il punto che corrisponde
n m
a b
alla frazione segue il punto che corrisponde alla frazione e si scrive
n m
a b .
>
n m
a b
equivalente
Il numero razionale è a se nella retta orientata i punti che corrispondono
n m
a b
alle frazioni e coincidono.
n m
Confronto tra numeri razionali.
Esempio 3.11. Q
0 1 2
13 12 3 3
−2 −1
− −
8 8 2
1 3 1 3 3 13
13 , , , .
− < − > − < −1 > −
8 2 8 2 8 2 8
Per certe frazioni è facile vedere se una frazione precede o segue un’altra. Per altre non è
così semplice. 79 67
Consideriamo per esempio le frazioni e . Quale frazione precede e quale segue? Il
confronto non è immediato perché con la prima frazione si conta per unità frazionarie di
19 17
tipo , con la seconda per unità frazionarie di tipo .
In generale, senza ricorrere alla rappresentazione sulla retta, come si possono confrontare i
numeri razionali?
Conviene sostituire le frazioni date con altre equivalenti che hanno unità frazionarie dello
stesso tipo: cioè occorre ridurre le frazioni allo stesso denominatore.
64 Capitolo 3. Numeri razionali
Confrontare due frazioni:
Procedura 3.5.
a ) si calcola il minimo comune multiplo dei denominatori delle frazioni;
b ) si trasforma ciascuna frazione come segue:
il nuovo denominatore è il trovato;
mcm
á il nuovo numeratore si ottiene dividendo il per il denominatore della frazione data
mcm
á e moltiplicando il quoziente ottenuto per il numeratore della frazione data.
c ) si confrontano i nuovi numeratori: la frazione più grande è quella che ha il numeratore più
grande. moltiplicare in croce
Un altro modo per confrontare due frazioni consiste nel numeratori e
denominatori delle frazioni, come nei seguenti esempi.
32 5
Confronta con .
Esempio 3.12. 3
Moltiplichiamo il numeratore della prima frazione con il denominatore della seconda
frazione e il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda, così:
3 5 · ·
, perché 3 3 2 5.
< <
2 3
7 67
Confronta le frazioni e .
Esempio 3.13. 9
mcm(7.9) 63.
= · ·
7 7 7 49 6 6 9 54
, .
= = = =
· ·
9 9 7 63 7 7 9 63
54 49 6 7
⇒ .
> >
63 63 7 9
3.7 Le operazioni con i numeri razionali
Con i numeri razionali è sempre possibile eseguire le addizioni, le moltiplicazioni, le
sottrazioni e le divisioni. In altre parole, poiché un numero razionale può essere scritto sotto
forma di frazione, se si addizionano, si moltiplicano, si sottraggono, si dividono due frazioni
il risultato è sempre una frazione.
3.7.1 Addizione
Se due frazioni hanno la stessa unità frazionaria allora è sufficiente sommare i numeratori
delle frazioni e prendere come denominatore l’unità frazionaria comune.
5 2 5 2 7
+ .
+ = =
3 3 3 3
somma di due frazioni con lo stesso denominatore
La è una frazione che ha
Definizione 3.11.
per denominatore lo stesso denominatore delle frazioni date e per numeratore la somma
dei numeratori.
Se le unità frazionarie sono diverse dobbiamo considerare frazioni equivalenti a quelle
date che abbiano la stessa unità frazionaria e poi eseguire l’addizione come indicato nel punto
precedente e cioè sommando i numeratori e lasciando lo stesso denominatore comune.
Sezione 3.7. Le operazioni con i numeri razionali 65
5 25
=
3 15 31
+ 15
2 6
=
3 15 p
m
In generale data l’addizione di due frazioni la somma si può scrivere come
+
n q
mq + pn .
nq
mq
m =
n nq mq + pn
+ nq
pn
p =
q nq
Quando si sommano due frazioni si può scegliere un qualsiasi denominatore comune,
tuttavia per semplificare i calcoli conviene scegliere il più piccolo possibile, cioè il minimo
comune multiplo dei denominatori delle frazioni da sommare.
Sommare due o più frazioni:
Procedura 3.6.
a) ridurre le frazioni ai minimi termini;
b) calcolare il dei denominatori;
mcm
c) mettere il come denominatore della frazione somma;
mcm
per ogni frazione dividere il per il suo denominatore e moltiplicare il risultato per il
d) mcm
numeratore della frazione mantenendo il segno;
e ) calcolare la somma algebrica di tutti i numeri trovati;
f ) mettere la somma ottenuta come numeratore della frazione somma;
g ) ridurre ai minimi termini la frazione ottenuta.
8 5 8
Sommare le frazioni 1.
Esempio 3.14. − + −
12 6 5 5 8 1
2
riduco ai minimi termini le frazioni
Passo a − + −
3 6 5 1
calcolo mcm(3, 6, 5, 1) 30.
Passo b = ...
la frazione somma avrà come denominatore il mcm trovato .
Passo c 30
per ogni frazione divido il mcm per il suo denominatore e moltiplico il risultato per
Passo d
il numeratore: · · · ·
· · · · 2 10 5 5 8 6 1 30
2 3) 5 6) 8 5) 1 1) − + −
(30 : − (30 : + (30 : − (30 : =
30 30
20 25 48 30
− + − .
= 30
66 Capitolo 3. Numeri razionali
calcolo la somma algebrica dei numeri ottenuti al numeratore
Passo e +13.
13
metto la somma ottenuta al numeratore della frazione somma .
Passo f + 30 13
vedo se posso ridurre la frazione, in questo caso no, il risultato è .
Passo g + 30
7 .
Sommare i numeri razionali 2 1, 2 25%
Esempio 3.15. −0, − + + 12
Trasformo i numeri razionali in frazioni:
2 12 1 25 7 1 11 1 7
− .
− − + + =− − + +
10 9 100 12 5 9 4 12
Quindi mcm(5, 9, 4, 12) 180.
= · · · ·
· · · · 36 11 20 1 45 7 15
5) 11 9) 1 4) 7 12) −1 − + +
−1 (180 : − (180 : + (180 : + (180 : =
180 180
220 45 105
−36 − + +
= 180
106
=− 180
53 .
=− 90
3.7.2 Sottrazione di frazioni
La sottrazione di frazioni si può sempre trasformare in una addizione tra la prima frazione
e l’opposto della seconda frazione. Come per i numeri relativi, quando si parla di somma di
frazioni si intende sempre somma algebrica di frazioni.
3.7.3 Moltiplicazione
Il risultato della moltiplicazione tra frazioni può essere interpretato come l’area di un
rettangolo in cui le frazioni fattori sono la base e l’altezza.
1 unità 1
5 1
unità
1 1 1 1
5 5 5 5
2
3 1 1 1 1
5 5 5 5
4
5
Sezione 3.7. Le operazioni con i numeri razionali 67
45 23 45 23
·
Moltiplicare è come calcolare l’area del rettangolo di base e altezza . Ogni
15 13 1
rettangolino di base e altezza ha area . I rettangolini da prendere in considerazione
15
8
sono 8. Il risultato è quindi . Il denominatore indica in quante parti è stato diviso il quadrato
15
·
unitario: sono 3 5 15 parti. Il numeratore indica quante parti prendiamo, sono le parti
=
·
2 4 8 in grigio.
=
Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori
e per denominatore il prodotto dei denominatori.
m
n mp
· nq
p
q
3.7.4 Operazione inversa e aritmetica dell’orologio
La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Ma cosa significa operazione
inversa? Una operazione può essere interpretata come qualsiasi azione che provoca un
cambiamento di stato.
Consideriamo come esempio l’addizione nell’orologio che segna le ore dodici 0).
(12 =
Addizionare significa spostare le lancette in avanti di un determinato numero di ore. Si riporta
la tabella dell’addizione dell’orologio.
Consideriamo l’addizione 9 7 4. Il primo elemento 9 può essere interpretato come
+ =
stato iniziale, 7 come operatore formato dall’operazione «spostare le lancette avanti di. . . » e
+
dall’argomento 7; il risultato 4 è lo stato finale.
Si indica come operazione inversa quella operazione che applicata allo stato finale con
argomento uguale a quello precedente dell’operazione diretta, riporta allo stato iniziale.
Notiamo che anche nella matematica dell’orologio l’addizione gode della proprietà com-
mutativa e associativa, ha l’elemento neutro che è 0, ogni numero ha l’inverso.
68 Capitolo 3. Numeri razionali
+ 0 3 5 6 8 9 10
1 2 4 7 11
5 6 8 9 10
0 0 3
2 4 7 11
1 12
7 11 1
di
3 5 6 8 9 10 0
1 1 2 4 7 11 avanti 10 2 7
3 5 6 8 9 10 0
2 2 4 7 11 1 di
9 3
3 3 5 6 8 9 10 0
4 7 11 1 2 ietro
8 4
5 6 8 9 10 0 3
4 4 7 11 1 2 ind
5
7
5 5 6 8 9 10 0 3
7 11 1 2 4 6
0 3
6 6 8 9 10 5
1 2 4
7 11 Operatore
Inizio Fine
0 3 5 6
8 9 10 11 1 2 4
7 7 9 10 0 3 5 6
8 8 11 1 2 4 7 avanti di 7
9 9 10 0 3 5 6 8
11 1 2 4 7 9 4
10 10 0 3 5 6 8 9
11 1 2 4 7
0 3 5 6 8 9 10
11 11 1 2 4 7 indietro di 7
L’inverso di 0 è 0 perché 0 0 0 l’inverso di 3 è 9 perché 3 9 0
á á
+ = + =
l’inverso di 1 è 11 perché 1 11 0 l’inverso di 4 è 8 perché 4 8 0
á á
+ = + =
l’inverso di 2 è 10 perché 2 10 0 l’inverso di 5 è 7 perché 5 7 0.
á á
+ = + =
L’elemento inverso è molto importante in quanto ci permette di sostituire l’operazione
inversa, con l’operazione diretta che ha come argomento l’elemento inverso dell’argomento
dell’operazione diretta.
Operatore
Inizio Fine 12
7 11 1
di
avanti di 7 avanti 10 2
9 4 9 3
8 4
avanti di 5 5
7 av
6 a
nt
id
i5
Così per tornare allo stato iniziale invece di operare con portare indietro le lancette di 7,
otteniamo lo stesso risultato portando avanti le lancette di 5 che è appunto l’inverso di 7.
3.7.5 Divisione
La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Dato che nell’insieme dei numeri
razionali esiste sempre l’inverso di una frazione rispetto alla moltiplicazione, esclusa la
frazione zero, si può sempre eseguire la divisione di due qualsiasi frazioni.
Sezione 3.8. Potenza di una frazione 69
m m
n n mq
·
=
: np
p q
q p
m p m q mq
· .
: = =
n q n p np
Il quoziente di due frazioni è la frazione che si ottiene moltiplicando la prima frazione per
l’inverso della seconda frazione.
Quoziente di due frazioni.
Esempio 3.16.
2 7 .
á :
3 4 7 47
Il reciproco di è . Pertanto
4 2 7 2 4 8
→ · .
: =
3 4 3 7 21
3
2 .
á : −
− 3 4
3 43
Il reciproco di è . Pertanto
− −
4
2 3 2 4 8
→ · .
− : − − − =+
3 4 3 3 9
2 0.
á :
3
Il reciproco di 0 non esiste, quindi la divisione non è eseguibile.
2
0 .
á : 3 2 32
Il reciproco di è . Pertanto
3 2 3
→ ·
0 0.
0 =
: 3 2
3.8 Potenza di una frazione
Come per ogni numero, anche per le frazioni, la potenza di una frazione non è altro che
un prodotto di tante frazioni identiche alla frazione data quanto è il valore dell’esponente,
pertanto si trova elevando il numeratore e il denominatore della frazione all’esponente della
potenza. n n
a a a a a a
· · · ·
... .
= = n
b b b b b b
| {z }
volte
n
Potenza di frazioni.
Esempio 3.17.
70 Capitolo 3. Numeri razionali
3 3 2
2 8
8 4
2 2
á − =− .
á á
=− =+
− −
3 3
3 27 3 9
3.8.1 Potenza con esponente uguale a zero
La definizione di potenza si estende anche al caso in cui l’esponente è zero.
Consideriamo l’esempio della divisione di due potenze con la stessa base e con lo stesso
esponente:
n n 1, la divisione di due numeri uguali è 1;
á a : a = 0
n n , applicando le proprietà delle potenze.
á a : a = a
Possiamo allora concludere che per ogni frazione o numero razionale diverso da
a
0 0
zero 1. Non è invece possibile la potenza 0 .
a =
3.8.2 Potenza con esponente un numero intero negativo
La definizione di potenza si può estendere anche al caso in cui l’esponente sia uguale a un
numero intero negativo: n
n
1 1
1
0
−n n n .
1 = =
a = a : a = : a = n n
a a a
Si può definire allora per ogni numero razionale diverso da zero
n
1
−n .
a = a
La potenza di un numero diverso da zero elevato a un esponente intero negativo è uguale a
una potenza che ha per base il reciproco della base rispetto alla moltiplicazione e per esponente
l’opposto dell’esponente rispetto all’addizione.
Non è definita invece la potenza con esponente negativo di 0. Il numero 0 infatti non ha il
−n
reciproco. Pertanto, 0 è una scrittura priva di significato.
3.9 Notazione scientifica e ordine di grandezza
Le discipline scientifiche quali la fisica, la biologia, l’astronomia etc, si trovano spesso
a doversi confrontare con misurazioni di grandezze espresse da numeri molto grandi. Per
esempio:
il raggio della Terra è circa 6 400 000m
á la velocità della luce nel vuoto è 299 790 000m/s
á un globulo rosso ha il diametro di 0, 000007m.
á
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