TEMPERATURA E CALORE ESERCIZIO N°2

Oggi parleremo di temperatura e calore, ed in particolare risolveremo un problema riguardante il mercurio del termometro. Il problema è il seguente:

Il mercurio nell'intervallo di temperatura

[math]0°C÷30°C[/math]
ha un coefficiente di dilatazione lineare
[math]λ=1,8*10^{-4}°C^{-1}[/math]
. Una colonnina di mercurio di un termometro è lunga
[math]l_{1}=20mm[/math]
a temperatura
[math]t_{1}=4°C[/math]
. Calcolarne la nuova lunghezza
[math]l_{2}[/math]
alla temperatura
[math]t_{2}=24°C[/math]
.


Per la risoluzione dell'esercizio, chiamiamo con

[math]l_{0}[/math]
la lunghezza della colonnina a
[math]0°C[/math]
. possiamo quindi scrivere che:


[math]
\begin{cases} l_{1}=l_{0}(1+λt_{1}) \\
l_{2}=l_{0}(1+λt_{2}) \end{cases}
[/math]


Ora, da queste due relazioni, ricaviamo per entrambe

[math]l_{0}[/math]
ed otteniamo:


[math]\begin{cases} l_{1}=l_{0}(1+λt_{1})\ =>\ l_{0}=\frac{l_{1}}{(1+λt_{1})} \\
l_{2}=l_{0}(1+λt_{2})\ =>\ l_{0}=\frac{l_{2}}{(1+λt_{2})} \end{cases} [/math]


Ora uguagliamo queste due relazioni, per cui, dalla loro uguaglianza possiamo esprimere direttamente:


[math]=>\ l_{2}=l_{1}\frac{1+λt_{2}}{1+λt_{1}}[/math]


Avendo esplicitando

[math]l_{2}[/math]
in funzione con
[math]l_{1}[/math]
. ora sostituiamo i valori numerici e abbiamo:


[math]=>\ l_{2}=l_{1}\frac{1+λt_{2}}{1+λt_{1}}= 20*\frac{1+0,00432}{1+0,00072}=20,0718mm[/math]


Che è il valore della colonnina di mercurio

[math]l_{2}[/math]
assunto alla temperatura di
[math]24°C[/math]
. Avremmo anche potuto calcolare la lunghezza della colonnina
[math]l_{2}[/math]
applicando direttamente questa formula, cioè la formula della dilatazione. Chiamiamo con
[math]l'[/math]
la lunghezza che avremmo ottenuto adoperando la legge di dilatazione in questo modo:


[math]l'_{2}=l_{1}(1+λΔt)[/math]


C'è da dire che a rigore, questa legge non può essere applicata quando la dilatazione del corpo avviene da una temperatura

[math]t_{1} \neq 0[/math]
a una temperatura
[math]t_{2}[/math]
com'è nel nostro caso.

Vediamo comunque che valore avremmo ottenuto e qual è l'errore percentuale che abbiamo se calcoliamo

[math]l_{2}[/math]
con questa formula con quella precedente:


[math]l'_{2}=l_{1}(1+λΔt)=l_{1}(1+λ(t_{2}-t_{1}))=20(1+0,0036)=20,0720mm[/math]


Vediamo effettivamente che il risultato è diverso rispetto al caso precedente, è meno rigoroso. Vediamo l'errore percentuale che avremmo commesso se avessimo usato questa formula che a rigore non va utilizzata. L'errore percentuale sarà dato:


[math]Errore\ \ percentuale=\frac{l'_{2}-l_{2}}{l_{2}}*100=\frac{20,0720-20,0718}{20,0718}*100=\\
\\
=\ 0,001\%[/math]


Un'errore percentuale basso che consente di utilizzare questa formula, la formula della dilatazione termica, anche nel caso in cui la dilatazione avviene da una temperatura

[math]t_{1} \neq 0[/math]
a una temperatura
[math]t_{2}[/math]

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